Questão 4. Calcule a derivada da função, onde ela existir, nos casos a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
nos pontos onde ela existir.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é a soma de duas parcelas:
e . - A função
exige argumento positivo; portanto, a segunda parcela só está definida quando . - A pergunta é: qual é
e em que pontos essa derivada existe?
Passo 2
Para derivar, vamos lembrar e explicar com calma as regras que vamos usar. Primeiro, regra da soma: se
então
Ou seja, conseguimos derivar cada parcela separadamente e somar os resultados. Aqui
e
.
Passo 3
Regra da cadeia (explicação didática). Muitas funções são compostas, isto é, são de forma
onde
é uma função simples (por exemplo
ou
) e
é outra função (por exemplo
ou
). A regra da cadeia diz:
Aqui
é a derivada de
avaliada em
, e
é a derivada de
em
.
Exemplo rápido e concreto: se
, então
e
. Temos
e
. Assim
Isto mostra como a cadeia traz o fator extra
.
Passo 4
Derivando a primeira parcela
.
Aplicando a regra da cadeia com
(logo
) e
(logo
), obtemos
Organizando:
Explicando cada parte: o termo
vem de derivar
em relação ao seu argumento; o fator
vem de derivar
.
Passo 5
Derivando a segunda parcela
.
Também aqui usamos a regra da cadeia com
(para
,
) e
(cuja derivada é
). Assim
Podemos reescrever isso usando a função cotangente:
Observação sobre domínio: a fórmula
só faz sentido quando
; além disso, a própria função
só existe quando
. Portanto só consideramos esses
.
Passo 6
Somando as derivadas das parcelas (regra da soma):
Em forma mais compacta:
Passo 7
Determinar onde a derivada existe. Pontos a considerar:
- A primeira parcela
está bem definida para todo . - A segunda parcela
exige . Além disso, a função original só existe quando .
Logo a derivada
só pode existir em pontos onde
está definida, isto é, onde
. Os intervalos em que
são
Em cada um desses intervalos a expressão encontrada para
vale e a derivada existe.