Questão 4. Calcule a derivada da função, onde ela existir, nos casos a seguir.
f(x)=\cos \left(x^{2}+1\right)+\ln (\operatorname{sen}(x))

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)+\ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)
e pede para calcular a derivada de f nos pontos onde ela existir.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é a soma de duas parcelas: \cos\bigl(x^{2}+1\bigr) e \ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr).
  • A função \ln(\cdot) exige argumento positivo; portanto, a segunda parcela só está definida quando \operatorname{sen}(x)>0.
  • A pergunta é: qual é f'(x) e em que pontos essa derivada existe?

Passo 2

Para derivar, vamos lembrar e explicar com calma as regras que vamos usar. Primeiro, regra da soma: se f(x)=g(x)+h(x) então
f'(x)=g'(x)+h'(x).
Ou seja, conseguimos derivar cada parcela separadamente e somar os resultados. Aqui g(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr) e h(x)=\ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr).

Passo 3

Regra da cadeia (explicação didática). Muitas funções são compostas, isto é, são de forma H(x)=\Phi\bigl(u(x)\bigr) onde \Phi é uma função simples (por exemplo \cos ou \ln) e u(x) é outra função (por exemplo x^2+1 ou \operatorname{sen}(x)). A regra da cadeia diz:
\frac{d}{dx}\Phi\bigl(u(x)\bigr)=\Phi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui \Phi'(u) é a derivada de \Phi avaliada em u, e u'(x) é a derivada de u em x.
Exemplo rápido e concreto: se H(x)=\cos(x^2), então \Phi(t)=\cos t e u(x)=x^2. Temos \Phi'(t)=-\sin t e u'(x)=2x. Assim
H'(x)=-\sin(x^2)\cdot 2x=-2x\sin(x^2).
Isto mostra como a cadeia traz o fator extra 2x.

Passo 4

Derivando a primeira parcela g(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).
Aplicando a regra da cadeia com \Phi(t)=\cos t (logo \Phi'(t)=-\sin t) e u(x)=x^{2}+1 (logo u'(x)=2x), obtemos
g'(x)=\Phi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = -\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)\cdot 2x.
Organizando:
g'(x) = -2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).
Explicando cada parte: o termo -\sin\bigl(x^{2}+1\bigr) vem de derivar \cos em relação ao seu argumento; o fator 2x vem de derivar x^{2}+1.

Passo 5

Derivando a segunda parcela h(x)=\ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr).
Também aqui usamos a regra da cadeia com \Phi(t)=\ln t (para t>0, \Phi'(t)=1/t) e u(x)=\operatorname{sen}(x) (cuja derivada é u'(x)=\cos x). Assim
h'(x)=\Phi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}\cdot\cos x.
Podemos reescrever isso usando a função cotangente:
h'(x)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen}(x)}=\cot x.
Observação sobre domínio: a fórmula \frac{1}{\operatorname{sen}(x)} só faz sentido quando \operatorname{sen}(x)\neq 0; além disso, a própria função h(x)=\ln(\operatorname{sen}(x)) só existe quando \operatorname{sen}(x)>0. Portanto só consideramos esses x.

Passo 6

Somando as derivadas das parcelas (regra da soma):
f'(x)=g'(x)+h'(x) = -2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac{\cos x}{\operatorname{sen}(x)}.
Em forma mais compacta:
f'(x) = -2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr) + \cot x.

Passo 7

Determinar onde a derivada existe. Pontos a considerar:
  • A primeira parcela -2x\sin\bigl(x^{2}+1\bigr) está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A segunda parcela \cot x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen}(x)} exige \operatorname{sen}(x)\neq 0. Além disso, a função original \ln(\operatorname{sen}(x)) só existe quando \operatorname{sen}(x)>0.
Logo a derivada f'(x) só pode existir em pontos onde f está definida, isto é, onde \operatorname{sen}(x)>0. Os intervalos em que \operatorname{sen}(x)>0 são
x\in\bigl(2k\pi,\,(2k+1)\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Em cada um desses intervalos a expressão encontrada para f'(x) vale e a derivada existe.

Resposta

f'(x) = -2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr) + \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen}(x)} para x tais que \operatorname{sen}(x)>0, ou seja, x\in\bigl(2k\pi,\,(2k+1)\pi\bigr), k\in\mathbb{Z}.

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