Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
. - Avaliando direto em
: e , então a forma é do tipo indeterminado . - O que se pede: calcular o limite quando
se aproxima de , ou justificar que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar
. Usando a diferença de quadrados,
Substituindo isso na expressão do limite obtemos
Passo 3
Vamos manipular a expressão de forma a usar um limite conhecido. Multiplicando e dividindo por
(que é finito perto de
) obtemos
Portanto o limite original se escreve como produto de dois limites (quando estes existirem):
Passo 4
Explicar e provar um limite fundamental que vamos usar: mostrar que
Prova (geometria do círculo unitário e Teorema do Aperto / Squeeze):
- Considere o círculo unitário e um ângulo
em radianos com . - Comparando áreas: área do triângulo inscrito
área do setor área do triângulo formado pela tangente. Isso dá
- Multiplicando por
(positivo) e rearranjando:
- Dividindo tudo por
(positivo neste intervalo),
- Invertendo as desigualdades (todas positivas) obtemos
- Quando
, . Pelo Teorema do Aperto (squeeze), segue que
- Para
usa-se que , portanto é função par em relação a essa forma e o limite também vale . - Conclusão geral:
Passo 5
Aplicar o resultado do passo anterior ao nosso caso. Defina
Quando
temos
e
, logo
. Assim podemos usar o limite
com esse
. Portanto
Passo 6
Avaliar o segundo limite que aparece no produto:
pois é uma função polinomial contínua e basta substituir
.
Passo 7
Combinar os resultados dos passos anteriores: produto de limites existe e é o produto dos limites. Assim