Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}-4\right)}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}{x-2}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é \dfrac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}{x-2}.
  • O ponto de interesse é x\to 2.
  • Avaliando direto em x=2: x^{2}-4=0 e x-2=0, então a forma é do tipo indeterminado \dfrac{0}{0}.
  • O que se pede: calcular o limite quando x se aproxima de 2, ou justificar que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar x^{2}-4. Usando a diferença de quadrados,
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo isso na expressão do limite obtemos
\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}{x-2} = \frac{\operatorname{sen}\bigl((x-2)(x+2)\bigr)}{x-2}.

Passo 3

Vamos manipular a expressão de forma a usar um limite conhecido. Multiplicando e dividindo por (x+2) (que é finito perto de x=2) obtemos
\frac{\operatorname{sen}\bigl((x-2)(x+2)\bigr)}{x-2} = \frac{\operatorname{sen}\bigl((x-2)(x+2)\bigr)}{(x-2)(x+2)}\cdot(x+2).
Portanto o limite original se escreve como produto de dois limites (quando estes existirem):
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}\bigl((x-2)(x+2)\bigr)}{x-2} = \left(\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}\bigl((x-2)(x+2)\bigr)}{(x-2)(x+2)}\right) \cdot \left(\lim_{x\to 2}(x+2)\right).

Passo 4

Explicar e provar um limite fundamental que vamos usar: mostrar que
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Prova (geometria do círculo unitário e Teorema do Aperto / Squeeze):
  • Considere o círculo unitário e um ângulo t em radianos com 0<t<\tfrac{\pi}{2}.
  • Comparando áreas: área do triângulo inscrito < área do setor < área do triângulo formado pela tangente. Isso dá
\frac{1}{2}\operatorname{sen}(t) < \frac{1}{2}t < \frac{1}{2}\tan(t).
  • Multiplicando por 2 (positivo) e rearranjando:
\operatorname{sen}(t) < t < \tan(t).
  • Dividindo tudo por \operatorname{sen}(t) (positivo neste intervalo),
1 < \frac{t}{\operatorname{sen}(t)} < \frac{1}{\cos(t)}.
  • Invertendo as desigualdades (todas positivas) obtemos
\cos(t) < \frac{\operatorname{sen}(t)}{t} < 1.
  • Quando t\to 0^{+}, \cos(t)\to 1. Pelo Teorema do Aperto (squeeze), segue que
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
  • Para t\to 0^{-} usa-se que \operatorname{sen}(-t)=-\operatorname{sen}(t), portanto \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t} é função par em relação a essa forma e o limite também vale 1.
  • Conclusão geral:
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.

Passo 5

Aplicar o resultado do passo anterior ao nosso caso. Defina
t=(x-2)(x+2).
Quando x\to 2 temos x-2\to 0 e x+2\to 4, logo t\to 0. Assim podemos usar o limite \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1 com esse t. Portanto
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}\bigl((x-2)(x+2)\bigr)}{(x-2)(x+2)} = 1.

Passo 6

Avaliar o segundo limite que aparece no produto:
\lim_{x\to 2}(x+2)=4,
pois é uma função polinomial contínua e basta substituir x=2.

Passo 7

Combinar os resultados dos passos anteriores: produto de limites existe e é o produto dos limites. Assim
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}{x-2} = 1\cdot 4 = 4.

Resposta

4

Exercícios relacionados