Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\left(5 x^{3}+4 x^{2}-15 x\right) \cdot\left(x^{2}-6 x+9\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\left(5x^{3}+4x^{2}-15x\right)\cdot\left(x^{2}-6x+9\right).
Informações dadas:
  • A função é produto de dois polinômios. O primeiro fator é \,5x^{3}+4x^{2}-15x\,.
  • O segundo fator é \,x^{2}-6x+9\,.
    O objetivo é obter a expressão de f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Regra e fórmulas que vamos usar (explicadas com carinho):
  • Produto de funções: se f(x)=u(x)\,v(x), então vale a regra do produto
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
onde u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x. Aqui u e v são funções que dependem de x.
  • Regra do poder (para termos do tipo a x^{n}): se g(x)=a x^{n}, então
g'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1},
onde a é constante, n é o expoente e x é a variável. Ou seja, baixa o expoente multiplicando e diminui o expoente em uma unidade.
Exemplo rápido (para fixar): se h(x)=4x^{3}, então h'(x)=4\cdot 3\cdot x^{2}=12x^{2}.

Passo 3

Identificamos os fatores e calculamos as derivadas parciais:
  • Seja u(x)=5x^{3}+4x^{2}-15x. Aplicando a regra do poder termo a termo:
    • A derivada de 5x^{3} é 5\cdot 3\cdot x^{2}=15x^{2}.
    • A derivada de 4x^{2} é 4\cdot 2\cdot x^{1}=8x.
    • A derivada de -15x é -15 (pois é -15x^{1}\Rightarrow -15\cdot1\cdot x^{0}=-15).
      Assim,
    u'(x)=15x^{2}+8x-15.
  • Seja v(x)=x^{2}-6x+9. Derivando termo a termo:
    • A derivada de x^{2} é 2x.
    • A derivada de -6x é -6.
    • A derivada de 9 é 0.
      Assim,
    v'(x)=2x-6.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
f'(x)=(15x^{2}+8x-15)\,(x^{2}-6x+9)+(5x^{3}+4x^{2}-15x)\,(2x-6).
Agora vamos expandir cada um desses produtos passo a passo e agrupar termos semelhantes.

Passo 5

Expandindo o primeiro produto (15x^{2}+8x-15)(x^{2}-6x+9):
  • 15x^{2}\cdot(x^{2}-6x+9)=15x^{4}-90x^{3}+135x^{2}.
  • 8x\cdot(x^{2}-6x+9)=8x^{3}-48x^{2}+72x.
  • -15\cdot(x^{2}-6x+9)=-15x^{2}+90x-135.
Somando esses três resultados termo a termo:
\begin{aligned} \text{primeiro produto} &=15x^{4}+(-90x^{3}+8x^{3})+(135x^{2}-48x^{2}-15x^{2})+(72x+90x)-135\\[4pt] &=15x^{4}-82x^{3}+72x^{2}+162x-135. \end{aligned}]

Passo 6

Agora expandimos o segundo produto (5x^{3}+4x^{2}-15x)(2x-6):
  • 5x^{3}\cdot(2x-6)=10x^{4}-30x^{3}.
  • 4x^{2}\cdot(2x-6)=8x^{3}-24x^{2}.
  • -15x\cdot(2x-6)=-30x^{2}+90x.
Somando:
\begin{aligned} \text{segundo produto} &=10x^{4}+(-30x^{3}+8x^{3})+(-24x^{2}-30x^{2})+90x\\[4pt] &=10x^{4}-22x^{3}-54x^{2}+90x. \end{aligned}]

Passo 7

Somamos os dois resultados obtidos (primeiro produto + segundo produto) e agrupamos termos semelhantes:
\begin{aligned} f'(x)&=(15x^{4}-82x^{3}+72x^{2}+162x-135)\\\ &\quad+(10x^{4}-22x^{3}-54x^{2}+90x)\\[4pt] &=(15x^{4}+10x^{4})+(-82x^{3}-22x^{3})+(72x^{2}-54x^{2})+(162x+90x)-135\\[4pt] &=25x^{4}-104x^{3}+18x^{2}+252x-135. \end{aligned}]

Resposta

f'(x)=25x^{4}-104x^{3}+18x^{2}+252x-135

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