Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é produto de dois polinômios. O primeiro fator é
. - O segundo fator é
.
O objetivo é obter a expressão de, a derivada de em função de .
Passo 2
Regra e fórmulas que vamos usar (explicadas com carinho):
- Produto de funções: se
, então vale a regra do produto
onde
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. Aqui
e
são funções que dependem de
.
- Regra do poder (para termos do tipo
): se , então
onde
é constante,
é o expoente e
é a variável. Ou seja, baixa o expoente multiplicando e diminui o expoente em uma unidade.
Exemplo rápido (para fixar): se
, então
.
Passo 3
Identificamos os fatores e calculamos as derivadas parciais:
- Seja
. Aplicando a regra do poder termo a termo: - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é (pois é ).
Assim,
- A derivada de
- Seja
. Derivando termo a termo: - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Assim,
- A derivada de
Passo 4
Aplicamos a regra do produto:
Substituindo
obtidos:
Agora vamos expandir cada um desses produtos passo a passo e agrupar termos semelhantes.
Passo 5
Expandindo o primeiro produto
:
-
. -
. -
.
Somando esses três resultados termo a termo:
Passo 6
Agora expandimos o segundo produto
:
-
. -
. -
.
Somando:
Passo 7
Somamos os dois resultados obtidos (primeiro produto + segundo produto) e agrupamos termos semelhantes: