Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\ln \left(3 x^{6}-x^{2}+7\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\ln\!\left(3x^{6}-x^{2}+7\right).
Informações dadas:
  • A função é a composição do logaritmo natural com o polinômio 3x^{6}-x^{2}+7.
  • Não há outras informações numéricas; a tarefa é encontrar f'(x).

Passo 2

Fórmula que vou usar (cadeia + logaritmo): se g(x)=\ln(u(x)) e u é diferenciável, então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando isso de forma simples: a derivada do ln de algo é a derivada do “algo” dividida pelo próprio “algo”. Aqui u(x) é a função que está dentro do ln; preciso identificar u(x) e calcular u'(x).

Passo 3

Identificar a função interior:
u(x)=3x^{6}-x^{2}+7.
Agora vou derivar u(x) termo a termo. Lembrete da regra básica: para uma constante a e inteiro n,
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a n x^{n-1}.

Passo 4

Derivando cada termo de u(x):
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{6}\bigr)=3\cdot 6 x^{5}=18x^{5}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-x^{2}\bigr)=-2x.
  • \dfrac{d}{dx}(7)=0.
Somando:
u'(x)=18x^{5}-2x.

Passo 5

Aplicando a fórmula do Passo 2 com u(x) e u'(x):
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{18x^{5}-2x}{3x^{6}-x^{2}+7}.

Passo 6

Podemos deixar o numerador factorizado para ficar mais compacto: fator comum 2x:
18x^{5}-2x=2x(9x^{4}-1).
Portanto uma forma final bonita é
f'(x)=\frac{2x(9x^{4}-1)}{3x^{6}-x^{2}+7}.
Dica rápida para a prova: identifique a “funcão dentro do ln” como u(x), calcule u'(x) cuidadosamente termo a termo e aplique \dfrac{u'}{u}. Respire fundo e faça devagar—é sempre isso.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2x(9x^{4}-1)}{3x^{6}-x^{2}+7}

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