Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=5^{2 x^{2}+4}-e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a derivada da função
f(x)=5^{2 x^{2}+4}-e^{-x}.
Informações dadas relevantes:
  • A função é dada por duas parcelas: 5^{2 x^{2}+4} e -e^{-x}.
  • Não há restrição explícita de domínio (essas funções estão definidas para todo x\in\mathbb{R}).
  • A pergunta é: encontrar f'(x), ou seja, a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Regra básica que vamos usar primeiro: a derivada da diferença é a diferença das derivadas. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\big(u(x)-v(x)\big)=u'(x)-v'(x),
onde u e v são funções diferenciáveis.
Aplicando isso aqui, com u(x)=5^{2x^{2}+4} e v(x)=e^{-x}, teremos
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(5^{2x^{2}+4}\big)-\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big).

Passo 3

Vamos derivar a primeira parcela \,5^{2x^{2}+4}.
Regra útil (explicada): para uma base positiva constante a>0 e uma função g(x), vale
\frac{d}{dx}\big(a^{g(x)}\big)=a^{g(x)}\ln(a)\cdot g'(x).
Por que isso? Uma maneira prática de ver é reescrever a^{g(x)} como e^{g(x)\ln a} e aplicar a regra da cadeia para a exponencial e^{(\cdot)}, já que \frac{d}{dx}e^{h(x)}=e^{h(x)}h'(x).
No nosso caso, tome
g(x)=2x^{2}+4.
Calculando g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(2x^{2}+4\big)=4x.
Agora aplicando a fórmula para a^{g(x)} com a=5:
\frac{d}{dx}\big(5^{2x^{2}+4}\big)=5^{2x^{2}+4}\ln(5)\cdot 4x.
Podemos escrever de forma mais limpa como
\frac{d}{dx}\big(5^{2x^{2}+4}\big)=4x\ln(5)\;5^{2x^{2}+4}.

Passo 4

Agora derivar a segunda parcela \,e^{-x}.
Regra: para h(x) qualquer, \dfrac{d}{dx}e^{h(x)}=e^{h(x)}h'(x).
Aqui h(x)=-x. Então
h'(x)=\frac{d}{dx}(-x)=-1.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 5

Juntando os resultados com a regra do Passo 2:
f'(x)=\underbrace{4x\ln(5)\;5^{2x^{2}+4}}_{\text{derivada da 1ª parcela}}-\underbrace{\big(-e^{-x}\big)}_{\text{derivada da 2ª parcela}}.ªª
O segundo termo é -(-e^{-x})=+e^{-x}. Assim,
f'(x)=4x\ln(5)\;5^{2x^{2}+4}+e^{-x}.

Resposta

f'(x)=4x\ln(5)\;5^{2x^{2}+4}+e^{-x}

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