Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=5\left(3 x^{4}-9 x^{2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=5\bigl(3x^{4}-9x^{2}\bigr)^{3}.
Informações dadas:
  • A função é explícita e está em termos de x.
  • Deseja-se f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos relembrar as regras de derivação que usaremos (com explicações curtas e exemplos):
  • Regra do múltiplo constante: se c é constante e g(x) é função, então
\frac{d}{dx}\bigl[c\,g(x)\bigr]=c\,g'(x).
Exemplo: \dfrac{d}{dx}\bigl[5x^2\bigr]=5\cdot 2x=10x.
  • Regra da potência (para função composta): se u(x) é uma função e n é constante, então
\frac{d}{dx}\bigl[u(x)^n\bigr]=n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x).
Isto é a combinação da potência com a regra da cadeia. Exemplo: \dfrac{d}{dx}\bigl[(2x+1)^3\bigr]=3(2x+1)^2\cdot 2.
  • Regra da cadeia (enunciada de forma geral): se h(x)=H(U(x)), então
h'(x)=H'\bigl(U(x)\bigr)\cdot U'(x).
Na prática, ao ter uma composição (\text{algo})^{3}, derivamos o exterior e multiplicamos pela derivada do interior.

Passo 3

Aplicando a regra do múltiplo constante à função dada: escrevemos
f(x)=5\;g(x),\quad\text{onde}\quad g(x)=\bigl(3x^{4}-9x^{2}\bigr)^{3}.
Pela regra do múltiplo constante,
f'(x)=5\,g'(x).

Passo 4

Agora vamos calcular g'(x) usando a regra da cadeia/potência. Defina
u(x)=3x^{4}-9x^{2},\qquad g(x)=u(x)^{3}.
Pela regra da potência (cadeia),
g'(x)=3\,u(x)^{2}\cdot u'(x).
Calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}-9x^{2}\bigr)=3\cdot 4x^{3}-9\cdot 2x=12x^{3}-18x.
Substituindo em g'(x),
g'(x)=3\bigl(3x^{4}-9x^{2}\bigr)^{2}\bigl(12x^{3}-18x\bigr).

Passo 5

Volte para f'(x)=5\,g'(x) e substitua g'(x):
f'(x)=5\cdot 3\bigl(3x^{4}-9x^{2}\bigr)^{2}\bigl(12x^{3}-18x\bigr).
Simplificando o fator constante 5\cdot 3,
f'(x)=15\bigl(3x^{4}-9x^{2}\bigr)^{2}\bigl(12x^{3}-18x\bigr).
Essa já é uma forma correta da derivada, mas podemos simplificar mais fatorando termos comuns.

Passo 6

Fatoração para simplificar e deixar a resposta mais enxuta:
Primeiro observe que
3x^{4}-9x^{2}=3x^{2}\bigl(x^{2}-3\bigr),
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\bigl(3x^{4}-9x^{2}\bigr)^{2}=9x^{4}\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}.
E
12x^{3}-18x=6x\bigl(2x^{2}-3\bigr).
Substituindo essas fatorações em f'(x):
f'(x)=15\cdot\bigl(9x^{4}(x^{2}-3)^{2}\bigr)\cdot\bigl(6x(2x^{2}-3)\bigr).
Agrupando constantes e potências de x:
15\cdot 9\cdot 6 =810,\qquad x^{4}\cdot x = x^{5}.
Portanto
f'(x)=810\,x^{5}\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}\bigl(2x^{2}-3\bigr).

Passo 7

(opcional — verificação rápida) Podemos conferir reescrevendo f como
f(x)=5\bigl(3x^{4}-9x^{2}\bigr)^{3}=135\,x^{6}\bigl(x^{2}-3\bigr)^{3}
e derivando por produto; isso leva à mesma expressão final encontrada acima, confirmando a consistência.

Resposta

f'(x)=810\,x^{5}\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}\bigl(2x^{2}-3\bigr)

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