Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é explícita e está em termos de
. - Deseja-se
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos relembrar as regras de derivação que usaremos (com explicações curtas e exemplos):
- Regra do múltiplo constante: se
é constante e é função, então
Exemplo:
.
- Regra da potência (para função composta): se
é uma função e é constante, então
Isto é a combinação da potência com a regra da cadeia. Exemplo:
.
- Regra da cadeia (enunciada de forma geral): se
, então
Na prática, ao ter uma composição
, derivamos o exterior e multiplicamos pela derivada do interior.
Passo 3
Aplicando a regra do múltiplo constante à função dada: escrevemos
Pela regra do múltiplo constante,
Passo 4
Agora vamos calcular
usando a regra da cadeia/potência. Defina
Pela regra da potência (cadeia),
Calcule
:
Substituindo em
,
Passo 5
Volte para
e substitua
:
Simplificando o fator constante
,
Essa já é uma forma correta da derivada, mas podemos simplificar mais fatorando termos comuns.
Passo 6
Fatoração para simplificar e deixar a resposta mais enxuta:
Primeiro observe que
logo
E
Substituindo essas fatorações em
:
Agrupando constantes e potências de
:
Portanto
Passo 7
(opcional — verificação rápida) Podemos conferir reescrevendo
como
e derivando por produto; isso leva à mesma expressão final encontrada acima, confirmando a consistência.