Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\frac{\operatorname{ArcSen}(x)}{\tan \left(x^{3} \cdot e^{x^{2}}\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
f(x)=\frac{\operatorname{ArcSen}(x)}{\tan\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr)}.
Informações dadas:
  • A função \operatorname{ArcSen}(x) é a função arco-seno (também escrita \arcsin(x)).
  • O denominador é \tan\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr).
    O que se pede: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vou usar a regra do quociente para derivar \dfrac{u(x)}{v(x)}. A regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u=u(x) e v=v(x). Aqui identifico as partes:
u(x)=\operatorname{ArcSen}(x), \qquad v(x)=\tan\bigl(h(x)\bigr), \qquad \text{com }h(x)=x^{3}e^{x^{2}}.
Nos próximos passos vou calcular u'(x), h'(x) e v'(x).

Passo 3

Derivada de u(x)=\operatorname{ArcSen}(x).
Explicação didática (cadeia inversa): se y=\operatorname{ArcSen}(x) então \sin y=x. Diferenciando em relação a x:
\cos y\cdot\frac{dy}{dx}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Como \sin y=x, temos \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}} (escolhemos o sinal positivo pelo intervalo principal de \operatorname{ArcSen}). Logo:
u'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{ArcSen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 4

Derivar h(x)=x^{3}e^{x^{2}} usando regra do produto e regra da cadeia para e^{x^{2}}.
Passo a passo:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de e^{x^{2}} é e^{x^{2}}\cdot 2x (regra da cadeia, pois (e^{g(x)})' = e^{g(x)} g'(x) e g(x)=x^{2} tem g'(x)=2x).
    Aplicando produto:
h'(x)=3x^{2}e^{x^{2}}+x^{3}\cdot\bigl(2x e^{x^{2}}\bigr) = e^{x^{2}}\bigl(3x^{2}+2x^{4}\bigr).
Podemos escrever de forma factorizada:
h'(x)=x^{2}e^{x^{2}}\bigl(3+2x^{2}\bigr).

Passo 5

Derivar v(x)=\tan\bigl(h(x)\bigr) usando a regra da cadeia.
Regra: \dfrac{d}{dx}\tan(g(x))=\operatorname{sec}^{2}(g(x))\cdot g'(x), onde \operatorname{sec}(u)=1/\cos(u).
Assim:
v'(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Substituindo h(x) e h'(x):
v'(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr)\cdot x^{2}e^{x^{2}}\bigl(3+2x^{2}\bigr).

Passo 6

Agora aplico a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\tan\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr) -\operatorname{ArcSen}(x)\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr)\,x^{2}e^{x^{2}}\bigl(3+2x^{2}\bigr)} {\tan^{2}\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr)}.

Passo 7

Fazer uma simplificação elegante usando identidades trigonométricas:
  • \dfrac{\tan}{\tan^{2}}=\dfrac{1}{\tan}=\cot.
  • \dfrac{\operatorname{sec}^{2}}{\tan^{2}}=\dfrac{1/\cos^{2}}{\sin^{2}/\cos^{2}}=\dfrac{1}{\sin^{2}}=\csc^{2}.
Aplicando essas identidades ao resultado do passo anterior obtemos uma forma mais compacta:
f'(x)=\frac{\cot\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr)}{\sqrt{1-x^{2}}} -\operatorname{ArcSen}(x)\;x^{2}e^{x^{2}}\bigl(3+2x^{2}\bigr)\;\csc^{2}\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr).

Resposta

f'(x)=\frac{\cot\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr)}{\sqrt{1-x^{2}}} -\operatorname{ArcSen}(x)\;x^{2}e^{x^{2}}\bigl(3+2x^{2}\bigr)\;\csc^{2}\bigl(x^{3}e^{x^{2}}\bigr).

Exercícios relacionados