Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
Informações dadas:
- A função
é a função arco-seno (também escrita ). - O denominador é
.
O que se pede: encontrar, a derivada de em termos de .
Passo 2
Vou usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz:
onde
e
. Aqui identifico as partes:
Nos próximos passos vou calcular
,
e
.
Passo 3
Derivada de
.
Explicação didática (cadeia inversa): se
então
. Diferenciando em relação a
:
Como
, temos
(escolhemos o sinal positivo pelo intervalo principal de
). Logo:
Passo 4
Derivar
usando regra do produto e regra da cadeia para
.
Passo a passo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (regra da cadeia, pois e tem ).
Aplicando produto:
Podemos escrever de forma factorizada:
Passo 5
Derivar
usando a regra da cadeia.
Regra:
, onde
.
Assim:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora aplico a regra do quociente:
Passo 7
Fazer uma simplificação elegante usando identidades trigonométricas:
-
. -
.
Aplicando essas identidades ao resultado do passo anterior obtemos uma forma mais compacta: