Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - Pedido: encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): quando temos uma exponencial de uma função composta, isto é uma função da forma
, a derivada obedece à regra da cadeia. A regra da cadeia diz que devemos derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna.
Aplicando isso ao caso geral:
Intuição curta e prática: a função externa é
; sua derivada é ela mesma,
. Como o expoente depende de
, multiplicamos pelo quanto o expoente muda quando
muda, isto é
.
Exemplo simples para fixar: para
temos
e
, logo
. Isso é a mesma ideia que usaremos aqui.
Passo 3
Identificar a função interna e calcular sua derivada (passo obrigatório antes de aplicar a regra da cadeia):
- Definimos
(peguei essa expressão do expoente da função original).
Agora derivamos termo a termo: - Derivada de
: usar a regra do poder ( ). Aqui , então . - Derivada de
: . - Derivada de
(constante): .
Somando as derivadas dos termos:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia usando
e
obtidos:
Isso significa multiplicar a derivada da parte interna pelo próprio exponencial com a parte interna no expoente. Não substituo explicitamente ainda nesta etapa (estou deixando a montagem final para a seção de resposta), mas já temos tudo pronto:
e
.
Passo 5
Verificação rápida (sanity check): dimensões algébricas batem —
é uma expressão polinomial e
é sempre positiva; a derivada resultante é um produto dessas duas quantidades, como esperado para derivadas de exponenciais compostas. Isso também coincide com o exemplo simples anterior, apenas com
mais complexo.