Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=e^{5 x^{2}+x-13}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=e^{5 x^{2}+x-13}.
  • Pedido: encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): quando temos uma exponencial de uma função composta, isto é uma função da forma e^{u(x)}, a derivada obedece à regra da cadeia. A regra da cadeia diz que devemos derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna.
Aplicando isso ao caso geral:
\text{Se }g(x)=e^{u(x)},\quad\text{então}\quad g'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.ã
Intuição curta e prática: a função externa é e^{(\cdot)}; sua derivada é ela mesma, e^{(\cdot)}. Como o expoente depende de x, multiplicamos pelo quanto o expoente muda quando x muda, isto é u'(x).
Exemplo simples para fixar: para h(x)=e^{3x} temos u(x)=3x e u'(x)=3, logo h'(x)=3e^{3x}. Isso é a mesma ideia que usaremos aqui.

Passo 3

Identificar a função interna e calcular sua derivada (passo obrigatório antes de aplicar a regra da cadeia):
  • Definimos u(x)=5x^{2}+x-13 (peguei essa expressão do expoente da função original).
    Agora derivamos termo a termo:
  • Derivada de 5x^{2}: usar a regra do poder ( \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}). Aqui n=2, então \dfrac{d}{dx}(5x^{2})=5\cdot 2x=10x.
  • Derivada de x: \dfrac{d}{dx}x=1.
  • Derivada de -13 (constante): \dfrac{d}{dx}(-13)=0.
Somando as derivadas dos termos:
u'(x)=10x+1.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia usando u(x) e u'(x) obtidos:
f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
Isso significa multiplicar a derivada da parte interna pelo próprio exponencial com a parte interna no expoente. Não substituo explicitamente ainda nesta etapa (estou deixando a montagem final para a seção de resposta), mas já temos tudo pronto: u'(x)=10x+1 e u(x)=5x^{2}+x-13.

Passo 5

Verificação rápida (sanity check): dimensões algébricas batem — u'(x) é uma expressão polinomial e e^{u(x)} é sempre positiva; a derivada resultante é um produto dessas duas quantidades, como esperado para derivadas de exponenciais compostas. Isso também coincide com o exemplo simples anterior, apenas com u(x) mais complexo.

Resposta

f'(x)=(10x+1)e^{5x^{2}+x-13}

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