Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\operatorname{ArcSec}\left(\ln \left(2 x^{2}\right)\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • Pede: calcular a derivada da função f dada por
f(x)=\operatorname{ArcSec}\!\big(\ln(2x^{2})\big).
  • Informações relevantes que vêm do enunciado:
    • A função é uma composição de funções: primeiro g(x)=2x^{2}, depois h(t)=\ln t com t=g(x), e por fim f(x)=\operatorname{ArcSec}(u) com u=h(g(x))=\ln(2x^{2}).
    • Para a expressão estar definida precisamos de x\neq 0 (porque \ln(2x^{2}) exige 2x^{2}>0, o que é verdade para todo x\neq0) e também a função inversa arcsec só é diferenciável onde |u|>1 (isto será comentado depois).

Passo 2

Plano de ataque (como vamos proceder):
  • Vamos usar a regra da cadeia (cadeia de composições) duas vezes: primeiro para derivar \operatorname{ArcSec}(u(x)) em função de u'(x), depois para derivar u(x)=\ln(2x^{2}) em função de x.
  • Então precisamos saber a derivada da função \operatorname{ArcSec}(u) em termos de u. Vou mostrar a fórmula e explicar por que aparece um valor absoluto.

Passo 3

Derivada da função \operatorname{ArcSec}(u) (aula rápida):
  • Seja y=\operatorname{ArcSec}(u). Então por definição \operatorname{sec} y = u.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a x (lembrando que y depende de x):
\operatorname{sec} y \tan y \,\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}.
  • Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{du/dx}{\operatorname{sec} y\,\tan y}.
  • Agora escrevemos \operatorname{sec} y e \tan y em função de u. Como \operatorname{sec} y = u, e usando a identidade trigonométrica \tan^{2}y=\operatorname{sec}^{2}y-1, temos \tan y=\pm\sqrt{u^{2}-1}. O sinal \pm depende do ramo, mas o produto \operatorname{sec} y\tan y fica
\operatorname{sec} y\,\tan y = u\cdot (\pm\sqrt{u^{2}-1}) = |u|\sqrt{u^{2}-1}.
  • Portanto a fórmula prática e correta para a derivada é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{ArcSec}(u)\big)=\frac{u'}{|u|\sqrt{u^{2}-1}}.
  • Observação importante: o valor absoluto aparece porque \operatorname{sec} y pode ser negativo e queremos que o denominador seja positivo (produto u\cdot\text{sgn}(\tan y) resulta em |u|). Essa é a forma padrão utilizada nas derivadas de funções arcsec/arcsecante.

Passo 4

Derivada do interior u(x)=\ln(2x^{2}):
  • Aplicando a regra da cadeia para \ln(\cdot): se u=\ln(s(x)) então u'=\dfrac{s'(x)}{s(x)}.
  • Aqui s(x)=2x^{2}. Calculando s'(x):
s'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{2})=4x.
  • Logo
u'(x)=\frac{s'(x)}{s(x)}=\frac{4x}{2x^{2}}=\frac{4x}{2x^{2}}=\frac{2}{x},
válido para x\neq0.

Passo 5

Combinar as duas peças com a regra da cadeia:
  • Usando a fórmula do Passo 3 com u(x)=\ln(2x^{2}) e u'(x)=\dfrac{2}{x}, obtemos
f'(x)=\frac{u'(x)}{\big|u(x)\big|\sqrt{u(x)^{2}-1}} =\frac{\dfrac{2}{x}}{\big|\ln(2x^{2})\big|\sqrt{\big(\ln(2x^{2})\big)^{2}-1}}.
  • Simplificando a fração:
f'(x)=\frac{2}{x\,\big|\ln(2x^{2})\big|\,\sqrt{\big(\ln(2x^{2})\big)^{2}-1}}.

Passo 6

Domínio de validade e observações finais:
  • A derivada acima exige simultaneamente:
    • x\neq 0 (para u'(x)=2/x estar definido),
    • e \big|\ln(2x^{2})\big|>1 (pois para \big(\ln(2x^{2})\big)^{2}-1 no denominador não pode ser zero ou negativo; nos pontos onde \big|\ln(2x^{2})\big|=1 a derivada tende ao infinito).
  • Em linguagem prática: a fórmula válida é para x\neq0 e \big|\ln(2x^{2})\big|>1.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{x\,\big|\ln(2x^{2})\big|\,\sqrt{\big(\ln(2x^{2})\big)^{2}-1}}

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