Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos:
- Pede: calcular a derivada da função
dada por
- Informações relevantes que vêm do enunciado:
- A função é uma composição de funções: primeiro
, depois com , e por fim com . - Para a expressão estar definida precisamos de
(porque exige , o que é verdade para todo ) e também a função inversa arcsec só é diferenciável onde (isto será comentado depois).
- A função é uma composição de funções: primeiro
Passo 2
Plano de ataque (como vamos proceder):
- Vamos usar a regra da cadeia (cadeia de composições) duas vezes: primeiro para derivar
em função de , depois para derivar em função de . - Então precisamos saber a derivada da função
em termos de . Vou mostrar a fórmula e explicar por que aparece um valor absoluto.
Passo 3
Derivada da função
(aula rápida):
- Seja
. Então por definição . - Diferenciando ambos os lados em relação a
(lembrando que depende de ):
- Isolando
:
- Agora escrevemos
e em função de . Como , e usando a identidade trigonométrica , temos . O sinal depende do ramo, mas o produto fica
- Portanto a fórmula prática e correta para a derivada é
- Observação importante: o valor absoluto aparece porque
pode ser negativo e queremos que o denominador seja positivo (produto resulta em ). Essa é a forma padrão utilizada nas derivadas de funções arcsec/arcsecante.
Passo 4
Derivada do interior
:
- Aplicando a regra da cadeia para
: se então . - Aqui
. Calculando :
- Logo
válido para
.
Passo 5
Combinar as duas peças com a regra da cadeia:
- Usando a fórmula do Passo 3 com
e , obtemos
- Simplificando a fração:
Passo 6
Domínio de validade e observações finais:
- A derivada acima exige simultaneamente:
-
(para estar definido), - e
(pois para no denominador não pode ser zero ou negativo; nos pontos onde a derivada tende ao infinito).
-
- Em linguagem prática: a fórmula válida é para
e .