Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\operatorname{ArcCos}\left(4 x^{2}-16\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{ArcCos}\!\bigl(4x^{2}-16\bigr).
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A função exterior é a função arco-cosseno, escrita como \operatorname{ArcCos}(\cdot).
  • A função interior (composta) é u(x)=4x^{2}-16.
  • Objetivo: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula e ideia que vou usar): regra da cadeia.
  • Se tivermos uma função composta f(x)=g\bigl(u(x)\bigr), então a derivada é
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x),
onde u'(x) é a derivada da função interior e g' é a derivada da função exterior em relação à sua variável.
Agora a derivada da função arco-cosseno (derivada em relação à sua variável t) é:
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{ArcCos}(t)\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},
válida para |t|<1 (e estendendo-se com cuidado nas bordas). Aqui t é a variável “dentro” do arco-cosseno. Vou aplicar essa fórmula com t=u(x).

Passo 3

Calcular a derivada da função interior u(x)=4x^{2}-16.
  • A regra para potências diz que \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Multiplicando por 4 e lembrando que a derivada de constante é 0, temos:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}-16\bigr)=4\cdot 2x + 0 = 8x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia: tomar a derivada da \operatorname{ArcCos} em relação a t, avaliar em t=u(x), e multiplicar por u'(x).
  • A derivada da parte exterior é -\dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}. Substituindo t=u(x)=4x^{2}-16 e multiplicando por u'(x)=8x, obtemos
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(4x^{2}-16\bigr)^{2}}}\cdot 8x.
  • Simplificando a escrita do produto:
f'(x)=-\frac{8x}{\sqrt{1-\bigl(4x^{2}-16\bigr)^{2}}}.

Passo 5

Observações sobre domínio (quando a derivada existe):
  • Para que \operatorname{ArcCos}\bigl(4x^{2}-16\bigr) esteja definida, é preciso que 4x^{2}-16\in[-1,1].
  • Isso equivale a 4x^{2}\in[15,17], ou seja,
x^{2}\in\left[\tfrac{15}{4},\tfrac{17}{4}\right]\quad\Longrightarrow\quad x\in\left[-\tfrac{\sqrt{17}}{2},-\tfrac{\sqrt{15}}{2}\right]\cup\left[\tfrac{\sqrt{15}}{2},\tfrac{\sqrt{17}}{2}\right].
  • Além disso, a fórmula da derivada tem um denominador \sqrt{1-(4x^{2}-16)^{2}}; então pontos em que 4x^{2}-16=\pm 1 (as extremidades acima) tornam o denominador zero e a derivada não é finita ali. Portanto a expressão de f'(x) vale para os x tais que 4x^{2}-16\in(-1,1), isto é, para
x\in\left(-\tfrac{\sqrt{17}}{2},-\tfrac{\sqrt{15}}{2}\right)\cup\left(\tfrac{\sqrt{15}}{2},\tfrac{\sqrt{17}}{2}\right).

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (só para sentir a conta): em x=2 temos 4x^{2}-16=4\cdot 4-16=0 (que está dentro de (-1,1)), então
f'(2)=-\frac{8\cdot 2}{\sqrt{1-0^{2}}}=-\frac{16}{1}=-16.
Isto mostra como usar a fórmula na prática. Força aí — tá ficando bom!

Resposta

f'(x)=-\frac{8x}{\sqrt{1-\bigl(4x^{2}-16\bigr)^{2}}}

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