Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A função exterior é a função arco-cosseno, escrita como
. - A função interior (composta) é
. - Objetivo: encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Lembrete importante (fórmula e ideia que vou usar): regra da cadeia.
- Se tivermos uma função composta
, então a derivada é
onde
é a derivada da função interior e
é a derivada da função exterior em relação à sua variável.
Agora a derivada da função arco-cosseno (derivada em relação à sua variável
) é:
válida para
(e estendendo-se com cuidado nas bordas). Aqui
é a variável “dentro” do arco-cosseno. Vou aplicar essa fórmula com
.
Passo 3
Calcular a derivada da função interior
.
- A regra para potências diz que
. - Multiplicando por
e lembrando que a derivada de constante é , temos:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia: tomar a derivada da
em relação a
, avaliar em
, e multiplicar por
.
- A derivada da parte exterior é
. Substituindo e multiplicando por , obtemos
- Simplificando a escrita do produto:
Passo 5
Observações sobre domínio (quando a derivada existe):
- Para que
esteja definida, é preciso que . - Isso equivale a
, ou seja,
- Além disso, a fórmula da derivada tem um denominador
; então pontos em que (as extremidades acima) tornam o denominador zero e a derivada não é finita ali. Portanto a expressão de vale para os tais que , isto é, para
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (só para sentir a conta): em
temos
(que está dentro de
), então
Isto mostra como usar a fórmula na prática. Força aí — tá ficando bom!