Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma composição de várias funções trigonométricas e um polinômio interno.
- O objetivo é encontrar
, a derivada de em relação a . - Não há outras restrições ou dados adicionais.
Passo 2
Vamos lembrar a regra principal que usaremos: a regra da cadeia. Ela diz que, para uma composição
,
Explicando com calma: se uma função depende de outra que depende de
, derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da interna. Essa é a ideia central aqui — vamos aplicar várias vezes porque a função é uma composição em “camadas”.
Passo 3
Identifiquemos as camadas (escrever assim ajuda a não se perder):
- Seja
(a parte polinomial mais interna). - Seja
. - Seja
. - Finalmente
.
Agora derivamos camada por camada:
, depois multiplicamos pela derivada de
, e assim por diante.
Passo 4
Derivadas básicas que vamos usar (com explicação curta):
- Derivada da tangente: para qualquer função
,
Aqui
. Ou seja, a derivada de
é
multiplicada pela derivada do argumento.
- Derivada do seno: para qualquer
,
- Derivada do cosseno:
- Derivada do polinômio
:
Explicando o polinômio: regra do poder — derivada de
é
.
Passo 5
Aplique a regra da cadeia camada a camada.
Primeiro, derivando a camada exterior:
Primeiro, derivando a camada exterior:
Agora
E
Substituindo , obtemos todas as peças para montar
.
E
Substituindo
Passo 6
Substituindo tudo numa só expressão, com cuidado nas substituições:
Agora voltamos dos nomes auxiliares para as funções originais:
e
. Então
Passo 7
Podemos reorganizar os fatores e tirar o sinal negativo para deixar a expressão mais limpa. Multiplicando o
por
dá
. Assim uma forma equivalente, mais compacta, é
Ambas as formas (a da etapa anterior e esta) estão corretas; esta última só coloca o sinal negativo na frente e agrupa os fatores.
Passo 8
Dica rápida para a prova (prática): escreva sempre as camadas (como em
) e calcule as derivadas de dentro para fora ou de fora para dentro, um passo por vez. Não esqueça o sinal negativo na derivada do cosseno. Se ficar inseguro, faça um caso mais simples (por exemplo calcule a derivada de
) para lembrar a sequência das operações.