Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\tan \left(\operatorname{Sen}\left(\operatorname{Cos}\left(6 x^{3}-10 x\right)\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\tan\!\big(\operatorname{Sen}\!\big(\operatorname{Cos}\!\big(6x^{3}-10x\big)\big)\big).
Informações dadas:
  • A função é uma composição de várias funções trigonométricas e um polinômio interno.
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.
  • Não há outras restrições ou dados adicionais.

Passo 2

Vamos lembrar a regra principal que usaremos: a regra da cadeia. Ela diz que, para uma composição F(x)=h(g(x)),
F'(x)=h'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Explicando com calma: se uma função depende de outra que depende de x, derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da interna. Essa é a ideia central aqui — vamos aplicar várias vezes porque a função é uma composição em “camadas”.

Passo 3

Identifiquemos as camadas (escrever assim ajuda a não se perder):
  • Seja w(x)=6x^{3}-10x (a parte polinomial mais interna).
  • Seja v(x)=\cos\!\big(w(x)\big)=\cos\!\big(6x^{3}-10x\big).
  • Seja u(x)=\sin\!\big(v(x)\big)=\sin\!\big(\cos(6x^{3}-10x)\big).
  • Finalmente f(x)=\tan\!\big(u(x)\big)=\tan\!\big(\sin(\cos(6x^{3}-10x))\big).
Agora derivamos camada por camada: f'(x)=\dfrac{d}{dx}\tan(u(x)), depois multiplicamos pela derivada de u(x), e assim por diante.

Passo 4

Derivadas básicas que vamos usar (com explicação curta):
  • Derivada da tangente: para qualquer função z(x),
\frac{d}{dx}\tan\big(z(x)\big)=\operatorname{sec}^{2}\big(z(x)\big)\cdot z'(x).
Aqui \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)}. Ou seja, a derivada de \tan é \operatorname{sec}^{2} multiplicada pela derivada do argumento.
  • Derivada do seno: para qualquer y(x),
\frac{d}{dx}\sin\big(y(x)\big)=\cos\big(y(x)\big)\cdot y'(x).
  • Derivada do cosseno:
\frac{d}{dx}\cos\big(s(x)\big)=-\sin\big(s(x)\big)\cdot s'(x).
  • Derivada do polinômio w(x)=6x^{3}-10x:
w'(x)=\frac{d}{dx}\big(6x^{3}\big)-\frac{d}{dx}\big(10x\big)=18x^{2}-10.
Explicando o polinômio: regra do poder — derivada de ax^{n} é a n x^{n-1}.

Passo 5

Aplique a regra da cadeia camada a camada.
Primeiro, derivando a camada exterior:
\frac{d}{dx}\tan\big(u(x)\big)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Agora u'(x)=\dfrac{d}{dx}\sin\big(v(x)\big)=\cos\big(v(x)\big)\cdot v'(x).
E v'(x)=\dfrac{d}{dx}\cos\big(w(x)\big)=-\sin\big(w(x)\big)\cdot w'(x).
Substituindo w'(x)=18x^{2}-10, obtemos todas as peças para montar f'(x).

Passo 6

Substituindo tudo numa só expressão, com cuidado nas substituições:
f'(x) = \operatorname{sec}^{2}\big(u(x)\big)\cdot \big(\cos\big(v(x)\big)\cdot \big(-\sin\big(w(x)\big)\cdot w'(x)\big)\big).
Agora voltamos dos nomes auxiliares para as funções originais:
u(x)=\sin\big(\cos(6x^{3}-10x)\big), \qquad v(x)=\cos(6x^{3}-10x), \qquad w(x)=6x^{3}-10x,
e w'(x)=18x^{2}-10. Então
f'(x) = \operatorname{sec}^{2}\!\big(\sin(\cos(6x^{3}-10x))\big)\cdot \cos\big(\cos(6x^{3}-10x)\big)\cdot \big(-\sin(6x^{3}-10x)\big)\cdot(18x^{2}-10).

Passo 7

Podemos reorganizar os fatores e tirar o sinal negativo para deixar a expressão mais limpa. Multiplicando o -1 por (18x^{2}-10) -(18x^{2}-10). Assim uma forma equivalente, mais compacta, é
f'(x) = -(18x^{2}-10)\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sin(\cos(6x^{3}-10x))\big)\,\cos\big(\cos(6x^{3}-10x)\big)\,\sin(6x^{3}-10x).
Ambas as formas (a da etapa anterior e esta) estão corretas; esta última só coloca o sinal negativo na frente e agrupa os fatores.

Passo 8

Dica rápida para a prova (prática): escreva sempre as camadas (como em w,v,u) e calcule as derivadas de dentro para fora ou de fora para dentro, um passo por vez. Não esqueça o sinal negativo na derivada do cosseno. Se ficar inseguro, faça um caso mais simples (por exemplo calcule a derivada de \tan(\sin x)) para lembrar a sequência das operações.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sin(\cos(6x^{3}-10x))\big)\cdot \cos\big(\cos(6x^{3}-10x)\big)\cdot\big(-\sin(6x^{3}-10x)\big)\cdot(18x^{2}-10).

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