Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\ln \left(9 x^{3}-4 x+\tan (10 x)\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\!\bigl(9x^{3}-4x+\tan(10x)\bigr)
A pergunta é: calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função interna dentro do logaritmo é 9x^{3}-4x+\tan(10x).
  • Não há outros dados numéricos adicionais nem figura.

Passo 2

Vamos trabalhar passo a passo. Primeiro, vou usar uma ideia padrão de diferenciação (explicada abaixo): se f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), então a derivada de f em termos de u é dada por
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui:
  • u(x) é uma função qualquer de x (no nosso caso u(x)=9x^{3}-4x+\tan(10x)).
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
    Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicada à função logaritmo natural. Em palavras: a variação do \ln de algo é a variação desse algo dividida pelo próprio algo.

Passo 3

Defino explicitamente a função interna:
u(x)=9x^{3}-4x+\tan(10x).
Agora vou diferenciar u(x) termo a termo. Regras que vou usar e explicar:
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Derivada da função potência x^{n} é n x^{n-1}. Então a derivada de 9x^{3} é
\frac{d}{dx}\bigl(9x^{3}\bigr)=9\cdot 3x^{2}=27x^{2}.
  • Derivada de -4x é -4, porque \dfrac{d}{dx}(ax)=a para constante a.
  • Derivada de \tan(v) em relação a x usa duas coisas: a derivada \dfrac{d}{dv}\tan(v)=\operatorname{sec}^{2}(v) e a regra da cadeia para v=v(x). Se v(x)=10x, então v'(x)=10. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(10x)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(10x\bigr)\cdot 10 = 10\operatorname{sec}^{2}\bigl(10x\bigr).
Observação: \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)}, então \operatorname{sec}^{2}(10x)=\dfrac{1}{\cos^{2}(10x)}.

Passo 4

Somando as derivadas dos termos, obtemos
u'(x)=27x^{2}-4+10\operatorname{sec}^{2}\bigl(10x\bigr).

Passo 5

Aplicando a fórmula do passo 2 (derivada do \ln):
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{27x^{2}-4+10\operatorname{sec}^{2}\bigl(10x\bigr)}{9x^{3}-4x+\tan(10x)}.
Essa é a expressão final da derivada. Repare que não fiz nenhuma simplificação que exigisse cálculo numérico — a forma racional com o numerador sendo a soma das derivadas é a forma natural e adequada na prova.

Passo 6

Pequeno reforço com um exemplo mais simples para fixar a ideia: se g(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr), então u(x)=x^{2}+1, u'(x)=2x e
g'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1},
mesma estrutura: derivada do interior sobre o interior. Isso é exatamente o que foi feito para f.

Resposta

f'(x)=\frac{27x^{2}-4+10\operatorname{sec}^{2}\bigl(10x\bigr)}{9x^{3}-4x+\tan(10x)}

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