Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
A pergunta é: calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função interna dentro do logaritmo é
. - Não há outros dados numéricos adicionais nem figura.
Passo 2
Vamos trabalhar passo a passo. Primeiro, vou usar uma ideia padrão de diferenciação (explicada abaixo): se
, então a derivada de
em termos de
é dada por
Aqui:
-
é uma função qualquer de (no nosso caso ). -
é a derivada de em relação a .
Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicada à função logaritmo natural. Em palavras: a variação dode algo é a variação desse algo dividida pelo próprio algo.
Passo 3
Defino explicitamente a função interna:
Agora vou diferenciar
termo a termo. Regras que vou usar e explicar:
- Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Derivada da função potência
é . Então a derivada de é
- Derivada de
é , porque para constante . - Derivada de
em relação a usa duas coisas: a derivada e a regra da cadeia para . Se , então . Portanto
Observação:
, então
.
Passo 4
Somando as derivadas dos termos, obtemos
Passo 5
Aplicando a fórmula do passo 2 (derivada do
):
Essa é a expressão final da derivada. Repare que não fiz nenhuma simplificação que exigisse cálculo numérico — a forma racional com o numerador sendo a soma das derivadas é a forma natural e adequada na prova.
Passo 6
Pequeno reforço com um exemplo mais simples para fixar a ideia: se
, então
,
e
mesma estrutura: derivada do interior sobre o interior. Isso é exatamente o que foi feito para
.