Questão 3. Calcule a derivada geral das funções abaixo:
(b) f(x)=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada geral da função \displaystyle f(x)=\sqrt{x}.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=\sqrt{x}. Pela definição de raiz quadrada, o domínio natural desta função é \displaystyle x\ge 0. O objetivo é encontrar a expressão de f'(x) (a derivada) em termos de x.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada (essa é a ferramenta básica que vamos usar): a derivada de f num ponto x é o limite do quociente incremental, quando existir:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h representa um pequeno incremento na variável x. Esse limite (se existir) é a taxa de variação instantânea de f em x. Na prática, para funções envolvendo raízes, usamos essa definição e faz-se uma manipulação algébrica (racionalização) para conseguir avaliar o limite.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função \displaystyle f(x)=\sqrt{x}, escrevemos o quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.
Queremos o limite dessa expressão quando h\to 0. Note que, como \sqrt{\cdot} só está definida para argumentos não negativos, para pontos x do domínio devemos ter x\ge 0 e, ao considerar h pequeno, devemos garantir x+h\ge 0. A derivação a seguir é válida para pontos x>0; trataremos x=0 separadamente.

Passo 4

Para calcular
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}
racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+h}+\sqrt{x}. Isso elimina as raízes no numerador. Fazemos:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)}.
No numerador temos a diferença de quadrados:
(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})=(x+h)-x=h.
Substituindo:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{h}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}},
para h\neq 0. A expressão simplificou muito — ótimo!

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
Como a função \sqrt{\cdot} é contínua para x\ge 0, quando h\to 0 temos \sqrt{x+h}\to\sqrt{x} (para x>0 isso é direto; em x=0 trataremos à parte). Substituindo no limite:
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
desde que x>0. Portanto para todo x>0 a derivada existe e vale \displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Tratamento do ponto x=0: para verificar se existe f'(0) usamos a definição:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h}}{h}.
Note que para h próximo de 0 e tal que 0+h\ge 0, temos h>0 (não há incremento negativo que mantenha 0+h\ge0 simétrico), então avalia-se o limite pela direita:
\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}\longrightarrow +\infty\quad\text{quando }h\to 0^+.
Logo não existe um limite finito — a derivada em 0 não existe (ou dizemos que é infinita). Portanto a expressão \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}} não vale em x=0.

Passo 7

Resumo didático e dica para a prova: uma forma rápida (quando já se conhece) é reescrever \sqrt{x}=x^{1/2} e aplicar a regra do expoente (regra de potência) que diz que, para x>0,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac12 obtemos \displaystyle f'(x)=\tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}, o mesmo resultado que achamos com a definição. Lembre-se de que para expoentes fracionários é preciso que x>0 para que a expressão seja bem definida.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad x>0

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