Questão 3. Calcule a derivada geral das funções abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada geral da função
.
Informações dadas: a função é . Pela definição de raiz quadrada, o domínio natural desta função é
. O objetivo é encontrar a expressão de
(a derivada) em termos de
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada (essa é a ferramenta básica que vamos usar): a derivada de
num ponto
é o limite do quociente incremental, quando existir:
Aqui
representa um pequeno incremento na variável
. Esse limite (se existir) é a taxa de variação instantânea de
em
. Na prática, para funções envolvendo raízes, usamos essa definição e faz-se uma manipulação algébrica (racionalização) para conseguir avaliar o limite.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função
, escrevemos o quociente incremental:
Queremos o limite dessa expressão quando
. Note que, como
só está definida para argumentos não negativos, para pontos
do domínio devemos ter
e, ao considerar
pequeno, devemos garantir
. A derivação a seguir é válida para pontos
; trataremos
separadamente.
Passo 4
Para calcular
racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
. Isso elimina as raízes no numerador. Fazemos:
No numerador temos a diferença de quadrados:
Substituindo:
para
. A expressão simplificou muito — ótimo!
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Como a função
é contínua para
, quando
temos
(para
isso é direto; em
trataremos à parte). Substituindo no limite:
desde que
. Portanto para todo
a derivada existe e vale
.
Passo 6
Tratamento do ponto
: para verificar se existe
usamos a definição:
Note que para
próximo de
e tal que
, temos
(não há incremento negativo que mantenha
simétrico), então avalia-se o limite pela direita:
Logo não existe um limite finito — a derivada em
não existe (ou dizemos que é infinita). Portanto a expressão
não vale em
.
Passo 7
Resumo didático e dica para a prova: uma forma rápida (quando já se conhece) é reescrever
e aplicar a regra do expoente (regra de potência) que diz que, para
,
Aplicando com
obtemos
, o mesmo resultado que achamos com a definição. Lembre-se de que para expoentes fracionários é preciso que
para que a expressão seja bem definida.