Questão 1. Calcule a derivada da seguinte função:
f(x)=e^{2 x} \cdot\left(x^{3}-4 x+1\right)+\ln (5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=e^{2 x}\cdot\left(x^{3}-4 x+1\right)+\ln(5).
Informações relevantes que temos:
  • A função é composta por um produto entre e^{2x} e o polinômio \left(x^{3}-4x+1\right).
  • Há uma soma com \ln(5), que é um número fixo (constante).
  • O objetivo é obter f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Relembre as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então a derivada de u(x)v(x) é
\bigl(u(x)v(x)\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) significa "derivada de u em relação a x".
  • Regra da cadeia para exponencial: se u(x) é uma função, a derivada de e^{u(x)} é
\frac{d}{dx}e^{u(x)} = u'(x)\,e^{u(x)}.
Ou seja, derivamos o expoente u(x) e multiplicamos por e^{u(x)}.
  • Derivada de um polinômio: para potências simples vale \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Derivada de constante: se c é constante, então \dfrac{d}{dx}c=0. Logo \dfrac{d}{dx}\ln(5)=0.

Passo 3

Identificamos as partes para aplicar a regra do produto:
u(x)=e^{2x},\qquad v(x)=x^{3}-4x+1.
Vamos achar u'(x) e v'(x) separadamente.
Para u(x)=e^{2x} aplicamos a regra da cadeia. Tome w(x)=2x, então w'(x)=2 e
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=w'(x)\,e^{w(x)}=2\,e^{2x}.

Passo 4

Para v(x)=x^{3}-4x+1 usamos a regra do polinômio termo a termo:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-4\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)=3x^{2}-4+0=3x^{2}-4.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto à função e^{2x}\cdot\bigl(x^{3}-4x+1\bigr). Lembrando de somar a derivada da constante \ln(5) (que é zero):
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)+\frac{d}{dx}\ln(5).
Substituindo u',u,v,v' que já calculamos:
f'(x)=\bigl(2e^{2x}\bigr)\bigl(x^{3}-4x+1\bigr)+e^{2x}\bigl(3x^{2}-4\bigr)+0.

Passo 6

Fatoramos e^{2x} para simplificar a expressão e combinamos os termos do polinômio:
f'(x)=e^{2x}\Bigl(2\bigl(x^{3}-4x+1\bigr)+(3x^{2}-4)\Bigr).
Agora expandimos e somamos termo a termo:
2\bigl(x^{3}-4x+1\bigr)=2x^{3}-8x+2,
então
2x^{3}-8x+2+(3x^{2}-4)=2x^{3}+3x^{2}-8x-2.
Logo
f'(x)=e^{2x}\bigl(2x^{3}+3x^{2}-8x-2\bigr).

Passo 7

Checagem rápida (sanidade): em x=0 temos
f'(0)=e^{0}\bigl(0+0-0-2\bigr)=-2.
Se calcularmos diretamente na forma não fatorada:
2e^{0}(0^{3}-0+1)+e^{0}(0-4)=2\cdot1-4=-2,
concorda — portanto a expressão final está coerente.

Resposta

f'(x)=e^{2x}\bigl(2x^{3}+3x^{2}-8x-2\bigr)

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