Questão 1. Calcule a derivada da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que temos:
- A função é composta por um produto entre
e o polinômio . - Há uma soma com
, que é um número fixo (constante). - O objetivo é obter
, a derivada de em função de .
Passo 2
Relembre as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
e são funções, então a derivada de é
Aqui
significa "derivada de
em relação a
".
- Regra da cadeia para exponencial: se
é uma função, a derivada de é
Ou seja, derivamos o expoente
e multiplicamos por
.
-
Derivada de um polinômio: para potências simples vale
. Ex.: . -
Derivada de constante: se
é constante, então . Logo .
Passo 3
Identificamos as partes para aplicar a regra do produto:
Vamos achar
e
separadamente.
Para
aplicamos a regra da cadeia. Tome
, então
e
Passo 4
Para
usamos a regra do polinômio termo a termo:
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto à função
. Lembrando de somar a derivada da constante
(que é zero):
Substituindo
que já calculamos:
Passo 6
Fatoramos
para simplificar a expressão e combinamos os termos do polinômio:
Agora expandimos e somamos termo a termo:
então
Logo
Passo 7
Checagem rápida (sanidade): em
temos
Se calcularmos diretamente na forma não fatorada:
concorda — portanto a expressão final está coerente.