Questão 5. Seja f(x)=\sqrt{x}.
(a) Encontre a linearização L(x) de f em x=16.
(b) Use L(x) para aproximar \sqrt{15.8}.
(c) Calcule a diferencial d y para x=16 e d x=-0.2 e compare com o valor exato da variação \Delta y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Função dada: f(x)=\sqrt{x}.
  • Ponto onde linearizamos: x=16.
  • Pedido (a): encontrar a linearização L(x) de f em x=16.
  • Pedido (b): usar L(x) para aproximar \sqrt{15,8}.
  • Pedido (c): calcular a diferencial d y para x=16 e d x=-0,2 e comparar com a variação exata \Delta y.
    Observação: vou usar d x=-0,2 como dado para a parte (c); isso também corresponde a passar de x=16 para x=15,8.

Passo 2

Explicação do conceito de linearização (tangent line) e como obtê-la.
  • A linearização de uma função f em torno de um ponto a é a reta tangente em x=a e serve como aproximação linear de f perto de a.
  • Fórmula da linearização: L(x)=f(a)+f'(a)(x-a),
onde f'(a) é a derivada de f avaliada em a.
  • Aqui a=16. Para aplicar a fórmula, preciso de f(16) e de f'(16).

Passo 3

Calcular f(16) e f'(x) para f(x)=\sqrt{x}.
  • Primeiro, interpretar a função como potência: \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • Regra de derivação (regra do poder): se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Agora avalio em x=16:
f(16)=\sqrt{16}=4, \qquad f'(16)=\frac{1}{2\sqrt{16}}=\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}.

Passo 4

Montar a linearização L(x) em x=16 usando a fórmula.
  • Substituindo f(16) e f'(16) em \;L(x)=f(16)+f'(16)(x-16)\;, obtemos:
L(x)=4+\frac{1}{8}(x-16).
  • Esta é a reta que aproxima \sqrt{x} na vizinhança de x=16. Interpretação prática: para x próximo de 16, f(x)\approx L(x).

Passo 5

Usar L(x) para aproximar \sqrt{15,8}.
  • Aqui x=15,8. Calculo passo a passo:
x-16=15,8-16=-0,2,
\frac{1}{8}(x-16)=\frac{1}{8}\cdot(-0,2)=-0,025,
L(15,8)=4-0,025=3,975.
  • Conclusão: a aproximação pelo linear é \sqrt{15,8}\approx 3,975.

Passo 6

Explicar o que é a diferencial d y e calcular d y para x=16 e d x=-0,2.
  • Definição: para uma função diferenciável y=f(x), a diferencial d y é dada por d y=f'(x)\,d x,
onde d x é uma pequena variação em x. O d y é a variação linear estimada de y correspondente a d x.
  • Avaliando em x=16 com d x=-0,2 e f'(16)=\tfrac{1}{8}:
d y=f'(16)\,d x=\frac{1}{8}\cdot(-0,2)=-0,025.
  • Observação: esse d y coincide numericamente com L(15,8)-f(16); isso não é coincidência: a linearização fornece exatamente a variação linear d y.

Passo 7

Calcular a variação exata \Delta y e comparar com d y.
  • Definição da variação exata: \Delta y=f(16+d x)-f(16)=\sqrt{15,8}-4.
  • Uma forma exata útil (racionalização) para calcular \Delta y é:
\Delta y=\sqrt{15,8}-4=\frac{15,8-16}{\sqrt{15,8}+4}=\frac{-0,2}{\sqrt{15,8}+4}.
  • Para obter um valor numérico, precisamos de uma boa aproximação de \sqrt{15,8}. Começando com a aproximação linear 3,975 e refinando por um passo de Newton (opcional) obtém-se
\sqrt{15,8}\approx 3,974921384\ldots
  • Substituindo nesse valor:
\Delta y=\sqrt{15,8}-4\approx 3,974921384-4=-0,025078616\ldots
  • Agora comparar com d y=-0,025:
\Delta y - d y \approx -0,025078616 - (-0,025) = -0,000078616\ldots
  • Conclusão: d y fornece uma aproximação muito boa para \Delta y; o erro absoluto é aproximadamente 7,86\times 10^{-5}, ou seja, cerca de 0,000079.

Resposta

(a) L(x)=4+\dfrac{1}{8}(x-16)
(b) \sqrt{15,8}\approx 3,975
(c) d y=-0,025,\quad \Delta y\approx -0,025078616

Exercícios relacionados