Questão 5. Seja
.
(a) Encontre a linearização
de
em
.
(b) Use
para aproximar
.
(c) Calcule a diferencial
para
e
e compare com o valor exato da variação
.
(a) Encontre a linearização
(b) Use
(c) Calcule a diferencial
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Função dada:
. - Ponto onde linearizamos:
. - Pedido (a): encontrar a linearização
de em . - Pedido (b): usar
para aproximar . - Pedido (c): calcular a diferencial
para e e comparar com a variação exata .
Observação: vou usarcomo dado para a parte (c); isso também corresponde a passar de para .
Passo 2
Explicação do conceito de linearização (tangent line) e como obtê-la.
- A linearização de uma função
em torno de um ponto é a reta tangente em e serve como aproximação linear de perto de . - Fórmula da linearização:
onde
é a derivada de
avaliada em
.
- Aqui
. Para aplicar a fórmula, preciso de e de .
Passo 3
Calcular
e
para
.
- Primeiro, interpretar a função como potência:
. - Regra de derivação (regra do poder): se
então . Aplicando com :
- Agora avalio em
:
Passo 4
Montar a linearização
em
usando a fórmula.
- Substituindo
e em , obtemos:
- Esta é a reta que aproxima
na vizinhança de . Interpretação prática: para próximo de , .
Passo 5
Usar
para aproximar
.
- Aqui
. Calculo passo a passo:
- Conclusão: a aproximação pelo linear é
.
Passo 6
Explicar o que é a diferencial
e calcular
para
e
.
- Definição: para uma função diferenciável
, a diferencial é dada por
onde
é uma pequena variação em
. O
é a variação linear estimada de
correspondente a
.
- Avaliando em
com e :
- Observação: esse
coincide numericamente com ; isso não é coincidência: a linearização fornece exatamente a variação linear .
Passo 7
Calcular a variação exata
e comparar com
.
- Definição da variação exata:
. - Uma forma exata útil (racionalização) para calcular
é:
- Para obter um valor numérico, precisamos de uma boa aproximação de
. Começando com a aproximação linear e refinando por um passo de Newton (opcional) obtém-se
- Substituindo nesse valor:
- Agora comparar com
:
- Conclusão:
fornece uma aproximação muito boa para ; o erro absoluto é aproximadamente , ou seja, cerca de .
Resposta
(a)
(b)
(c)