Questão 4. Considere a curva definida implicitamente por
x^{2} y+\ln (y)=4 x
Encontre \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}.

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente pela equação
x^{2}y + \ln(y) = 4x,
e pede para encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes:
  • y depende de x: y = y(x) (não foi dada explicitamente).
  • Precisamos diferenciar ambos os lados em relação a x e resolver para \dfrac{dy}{dx}.
  • Não há valores numéricos específicos; a resposta será uma fórmula em x e y.

Passo 2

Ideia e regras que vamos usar (explicadinhas):
  • Derivada de uma soma: derivamos termo a termo.
  • Regra do produto: para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Aqui quem é produto é x^{2} (que depende de x) e y(x).
  • Regra da cadeia: se temos uma função composta f(y(x)), então
\frac{d}{dx}f(y(x)) = f'(y(x))\cdot y'(x).
No caso de \ln(y(x)), f(t)=\ln t e f'(t)=1/t, logo
\frac{d}{dx}\ln(y(x))=\frac{1}{y(x)}\,y'(x).
  • Derivada de 4x em relação a x é 4.

Passo 3

Agora aplico as regras termo a termo na equação original.
Derivada de x^{2}y usando a regra do produto (com u(x)=x^{2} e v(x)=y(x)):
\frac{d}{dx}[x^{2}y] = (x^{2})' \, y + x^{2}\, y' = 2x\,y + x^{2}y'.
Derivada de \ln(y) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}[\ln(y)] = \frac{1}{y}\,y'.
Derivada do lado direito:
\frac{d}{dx}[4x] = 4.

Passo 4

Reunindo tudo, a diferenciação da equação dá
2x\,y + x^{2}y' + \frac{1}{y}\,y' = 4.
Agrupando os termos que contêm y',
x^{2}y' + \frac{1}{y}\,y' + 2x\,y = 4.
Fatorando y',
y'\!\left(x^{2} + \frac{1}{y}\right) + 2x\,y = 4.
Passando 2x\,y para o outro lado:
y'\!\left(x^{2} + \frac{1}{y}\right) = 4 - 2x\,y.

Passo 5

Para isolar \dfrac{dy}{dx} basta dividir ambos os lados por \left(x^{2} + \dfrac{1}{y}\right). A expressão final para \dfrac{dy}{dx} está na seção de resposta abaixo.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y(4-2xy)}{x^{2}y+1}

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