Questão 4. Considere a curva definida implicitamente por
Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente pela equação
e pede para encontrar
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
depende de : (não foi dada explicitamente). - Precisamos diferenciar ambos os lados em relação a
e resolver para . - Não há valores numéricos específicos; a resposta será uma fórmula em
e .
Passo 2
Ideia e regras que vamos usar (explicadinhas):
- Derivada de uma soma: derivamos termo a termo.
- Regra do produto: para duas funções
e ,
Aqui quem é produto é
(que depende de
) e
.
- Regra da cadeia: se temos uma função composta
, então
No caso de
,
e
, logo
- Derivada de
em relação a é .
Passo 3
Agora aplico as regras termo a termo na equação original.
Derivada de
usando a regra do produto (com
e
):
Derivada de
pela regra da cadeia:
Derivada do lado direito:
Passo 4
Reunindo tudo, a diferenciação da equação dá
Agrupando os termos que contêm
,
Fatorando
,
Passando
para o outro lado:
Passo 5
Para isolar
basta dividir ambos os lados por
. A expressão final para
está na seção de resposta abaixo.