Questão 2. Derive a função
g(x)=\frac{x^{2} \cdot \cos x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\frac{x^{2}\cdot\cos x}{e^{x}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é composta por produtos e uma divisão por e^{x}.
  • Não foram dadas restrições de domínio (portanto assumimos x\in\mathbb{R}).
  • A pergunta é única: encontrar g'(x), a derivada de g.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a escrita para facilitar a diferenciação. Como \dfrac{1}{e^{x}}=e^{-x}, reescrevo
g(x)=x^{2}\cos x\;e^{-x}.
Escolho aplicar a regra do produto (duas vezes, porque há um produto de três fatores) em vez da regra do quociente porque trabalhar com e^{-x} transforma a divisão numa multiplicação por uma exponencial simples, o que costuma ser mais direto em prova sem truques extras.

Passo 3

Lembrar as fórmulas que vamos usar (com explicação curta):
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x) então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
onde u e v são funções diferenciáveis.
  • Derivada de potência: se p(x)=x^{n} então
p'(x)=n x^{n-1}.
  • Derivada do cosseno: se q(x)=\cos x então
q'(x)=-\sin x.
  • Regra da cadeia para exponencial: se r(x)=e^{u(x)} então
r'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
No nosso caso u(x)=-x, então \dfrac{d}{dx}e^{-x}=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 4

Vamos decompor em partes para aplicar as regras com calma. Defino
U(x)=x^{2}\cos x \qquad\text{e}\qquad V(x)=e^{-x},
de modo que g(x)=U(x)\,V(x). Primeiro calcule U'(x).
Aplicando a regra do produto ao produto x^{2}\cdot\cos x, tomo a(x)=x^{2} e b(x)=\cos x. Então
a'(x)=2x, \qquad b'(x)=-\sin x.
Pela regra do produto:
U'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)=2x\cos x + x^{2}(-\sin x).
Portanto
U'(x)=2x\cos x - x^{2}\sin x.

Passo 5

Agora calcule V'(x). Usando a regra da cadeia para V(x)=e^{-x} (com u(x)=-x):
V'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto para g(x)=U(x)\,V(x):
g'(x)=U'(x)\,V(x)+U(x)\,V'(x).
Substituindo U',U,V,V' que já calculei:
g'(x)=\bigl(2x\cos x - x^{2}\sin x\bigr)\,e^{-x} + \bigl(x^{2}\cos x\bigr)\,(-e^{-x}).

Passo 7

Fatorando e^{-x} em evidência para simplificar:
g'(x)=e^{-x}\Bigl(2x\cos x - x^{2}\sin x - x^{2}\cos x\Bigr).
Reorganizando um pouco os termos (por exemplo, agrupando os que têm x^{2}):
g'(x)=e^{-x}\Bigl(2x\cos x - x^{2}\bigl(\sin x + \cos x\bigr)\Bigr).
Essa é uma forma simplificada e pronta para entregar em prova. Se preferir, pode também reescrever como
g'(x)=\frac{2x\cos x - x^{2}\sin x - x^{2}\cos x}{e^{x}}.

Resposta

g'(x)=e^{-x}\Bigl(2x\cos x - x^{2}\bigl(\sin x + \cos x\bigr)\Bigr)

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