Questão 2. Derive a função
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas que vamos usar:
- A função é composta por produtos e uma divisão por
. - Não foram dadas restrições de domínio (portanto assumimos
). - A pergunta é única: encontrar
, a derivada de .
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a escrita para facilitar a diferenciação. Como
, reescrevo
Escolho aplicar a regra do produto (duas vezes, porque há um produto de três fatores) em vez da regra do quociente porque trabalhar com
transforma a divisão numa multiplicação por uma exponencial simples, o que costuma ser mais direto em prova sem truques extras.
Passo 3
Lembrar as fórmulas que vamos usar (com explicação curta):
- Regra do produto: se
então
onde
e
são funções diferenciáveis.
- Derivada de potência: se
então
- Derivada do cosseno: se
então
- Regra da cadeia para exponencial: se
então
No nosso caso
, então
.
Passo 4
Vamos decompor em partes para aplicar as regras com calma. Defino
de modo que
. Primeiro calcule
.
Aplicando a regra do produto ao produto
, tomo
e
. Então
Pela regra do produto:
Portanto
Passo 5
Agora calcule
. Usando a regra da cadeia para
(com
):
Passo 6
Agora aplico a regra do produto para
:
Substituindo
que já calculei:
Passo 7
Fatorando
em evidência para simplificar:
Reorganizando um pouco os termos (por exemplo, agrupando os que têm
):
Essa é uma forma simplificada e pronta para entregar em prova. Se preferir, pode também reescrever como