Questāo 3: Calcule a derivada das seguintes funçōes:
f(x)=\frac{x^{2}+3}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}+3}{x^{3}}.
Aqui vamos usar duas ideias principais: primeiro simplificar a função escrevendo-a como soma de potências de x, e depois aplicar a regra de potência (derivada de x^{n} é n\,x^{n-1}).

Passo 2

Reescrevendo em potências de x, temos
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}}+\frac{3}{x^{3}} =x^{-1}+3\,x^{-3}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência a cada termo:
  • A derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
  • A derivada de 3\,x^{-3} é 3\cdot(-3)\,x^{-4}=-9\,x^{-4}.
    Logo,
f'(x)=-x^{-2}-9\,x^{-4}.

Passo 4

Para ficar num único quociente, colocamos sobre o mesmo denominador x^{4}:
f'(x)=-\frac{x^{2}}{x^{4}}-\frac{9}{x^{4}} =-\frac{x^{2}+9}{x^{4}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{x^{2}+9}{x^{4}}.

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