Questāo 3: Calcule a derivada das seguintes funçōes:
f(x)=\cos ^{2}\left(x^{2}+x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos^{2}\bigl(x^{2}+x+2\bigr).
O conteúdo principal é derivação de função composta, usando a regra da cadeia e a derivada de \cos(u).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{2}+x+2,
cuja derivada é
u'(x)=2x+1.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em
\cos^{2}\bigl(u(x)\bigr). Primeiro escrevemos
f(x)=\bigl(\cos(u)\bigr)^{2}.
A derivada de v^{2} em relação a v é 2v, e a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u). Assim,
f'(x) =2\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot\bigl(-\sin\bigl(u(x)\bigr)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) temos
f'(x) =-2\cos\bigl(x^{2}+x+2\bigr)\,\sin\bigl(x^{2}+x+2\bigr)\,(2x+1).
Usando a identidade \sin(2u)=2\sin(u)\cos(u), obtemos a forma simplificada:
f'(x)=-(2x+1)\,\sin\bigl(2(x^{2}+x+2)\bigr).

Resposta

f'(x)=-(2x+1)\,\sin\bigl(2(x^{2}+x+2)\bigr).

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