Questāo 4: Calcule o limite, caso exista. Caso nāo exista, justifique.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)(x+2)(x+3) \\dots(x+10)}{\left(x^{2}+5\right)^{5}}\

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
\lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)(x+2)\cdots(x+10)}{(x^{2}+5)^{5}}.
Aqui queremos comparar os graus do numerador e do denominador para ver o comportamento quando x\to\infty. Vamos fatorar as potências mais altas de x.

Passo 2

Fatoramos x em cada termo do numerador e x^{2} dentro do parêntese do denominador:
(x+1)\cdots(x+10) = x^{10}\prod_{k=1}^{10}\Bigl(1+\frac{k}{x}\Bigr),
(x^{2}+5)^{5} = \bigl(x^{2}\bigr)^{5}\Bigl(1+\frac{5}{x^{2}}\Bigr)^{5} = x^{10}\Bigl(1+\frac{5}{x^{2}}\Bigr)^{5}.

Passo 3

Substituindo na fração, obtemos
\frac{(x+1)\cdots(x+10)}{(x^{2}+5)^{5}} = \frac{x^{10}\displaystyle\prod_{k=1}^{10}\bigl(1+\tfrac{k}{x}\bigr)} {x^{10}\bigl(1+\tfrac{5}{x^{2}}\bigr)^{5}} = \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{10}\bigl(1+\tfrac{k}{x}\bigr)} {\bigl(1+\tfrac{5}{x^{2}}\bigr)^{5}}.

Passo 4

Agora, quando x\to\infty, cada fator \bigl(1+\tfrac{k}{x}\bigr)\to1 e \bigl(1+\tfrac{5}{x^{2}}\bigr)^{5}\to1. Logo, o quociente tende a
\frac{1\cdot 1\cdots1}{1}=1.

Resposta

1

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