Questāo Bônus: Calcule o seguinte limite:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1+i \operatorname{an}-\sqrt{1+\sin x}}}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}}.
O conteúdo é expansão em séries de Taylor para \sin x, \tan x e para \sqrt{1+u}. Vamos obter termos até ordem x^3.

Passo 2

Expandimos \sin x e \tan x em torno de 0 até ordem x^3:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \qquad \tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5).

Passo 3

Usamos a série de Taylor de \sqrt{1+u} até u^3:
\sqrt{1+u} =1+\frac{u}{2}-\frac{u^2}{8}+\frac{u^3}{16}+O(u^4).
Aplicamos a u=\tan x e a u=\sin x.

Passo 4

Para f(x)=\sqrt{1+\tan x}:
f(x)=1+\frac{\tan x}{2}-\frac{(\tan x)^2}{8}+\frac{(\tan x)^3}{16}+O(x^4).
Para g(x)=\sqrt{1+\sin x}:
g(x)=1+\frac{\sin x}{2}-\frac{(\sin x)^2}{8}+\frac{(\sin x)^3}{16}+O(x^4).

Passo 5

Subtraímos g de f:
f(x)-g(x) =\frac{\tan x-\sin x}{2} -\frac{\tan^2x-\sin^2x}{8} +\frac{\tan^3x-\sin^3x}{16} +O(x^4).
Agora, usando as expansões do passo 2,
\tan x-\sin x=\bigl(x+\tfrac{x^3}{3}\bigr)-\bigl(x-\tfrac{x^3}{6}\bigr)=\tfrac{x^3}{2}+O(x^5),
enquanto \tan^2x-\sin^2x=O(x^4)
e \tan^3x-\sin^3x=O(x^5).
Logo
f(x)-g(x) =\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{2}+O(x^4) =\frac{x^3}{4}+O(x^4).

Passo 6

Dividindo por x^3 e fazendo x\to0, obtemos
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-g(x)}{x^3} =\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{x^3}{4}+O(x^4)}{x^3} =\frac{1}{4}.

Resposta

\boxed{\frac{1}{4}}.

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