Questão 1. Use a definição para calcular a derivada da função
f(x)=x^-12
e determine os pontos onde f não é derivável.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=x^-12
usando a definição (quociente incremental) e identificar os pontos onde f não é derivável. O conteúdo é cálculo de derivadas pelo limite
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Note que a função está definida somente para x>0.

Passo 2

Escrevemos o quociente incremental:
f(x+h)-f(x)h =(x+h)^-12-x^-12h =1raizx+h-1raizxh =raizx-raizx+hh,raizx+h,raizx

Passo 3

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por raizx+h+raizx:
raizx-raizx+hh,raizx+h,raizx cdotraizx+h+raizxraizx+h+raizx =x-(x+h)h,raizx+h,raizx,(raizx+h+raizx) =-hh,raizx+h,raizx,(raizx+h+raizx)
Cancelando h:
f(x+h)-f(x)h =-1raizx+h,raizx,(raizx+h+raizx)

Passo 4

Agora tomamos o limite hto0:
f'(x) =limhto0-1raizx+h,raizx,(raizx+h+raizx) =-1raizx,raizx,(2raizx) =-12x^3/2

Passo 5

Como f só está definida em (0,infty), a derivada
f'(x)=-12x^3/2
vale para todo x>0. Em x=0 (e em x<0) f nem chega a estar definida, logo não é derivável nesses pontos.

Resposta

f'(x)=-12x^3/2para x>0,
e f não é derivável em x<=0.

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