Observação 12.1 (Derivação em cadeia envolvendo funções trigonométricas, diretas e inversas). Combinando a regra de derivação 3.1 (regra da cadeia) com os resultados estabelecidos no teorema 12.1 e nas proposições 12.1 e 12.2, podemos imediatamente estabelecer que se
é uma função derivável, então, em cada item, desde que se defina a função composta, vale a regra de derivação dada pela igualdade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, sendo
diferenciável, vale
Para isso vamos usar o fato de que
é a inversa de
(teorema da derivada de função inversa) e depois aplicar a regra da cadeia (regra 3.1).
Passo 2
Primeiro lembramos que, por ser inversa de
, temos
Como
, obtemos
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia em
. Como
, temos