Observação 12.1 (Derivação em cadeia envolvendo funções trigonométricas, diretas e inversas). Combinando a regra de derivação 3.1 (regra da cadeia) com os resultados estabelecidos no teorema 12.1 e nas proposições 12.1 e 12.2, podemos imediatamente estabelecer que se u=u(x) é uma função derivável, então, em cada item, desde que se defina a função composta, vale a regra de derivação dada pela igualdade.
(arctg u)^prime=u^prime1+u^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, sendo u=u(x) diferenciável, vale
(arctgu)^prime=u^prime1+u^2
Para isso vamos usar o fato de que arctg é a inversa de tan (teorema da derivada de função inversa) e depois aplicar a regra da cadeia (regra 3.1).

Passo 2

Primeiro lembramos que, por ser inversa de tan, temos
(arctgx)'=1(tan y)'|y=arctgx e (tan y)'=1+tan^2y
Como tan(arctgx)=x, obtemos
(arctgx)'=11+x^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em f(x)=arctg(u(x)). Como f'(x)=f'(u),u'(x), temos
(arctgu(x))' =(arctgu)',u'(x) =11+u(x)^2;u'(x) =u'(x)1+u(x)^2

Resposta

(arctgu)^prime=u^prime1+u^2

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