Questão 4. Calcule a derivada das seguintes funções:
(iv) r(x)=\frac{x \operatorname{sen} x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de r(x)=\frac{x\sin x}{x^2+1}. Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de \frac{u(x)}{v(x)} é
\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2},
e dentro disso aplicaremos a regra do produto para derivar u(x)=x\sin x.

Passo 2

Definimos
u(x)=x\sin x
e
v(x)=x^2+1.

Passo 3

Para achar u'(x) usamos a regra do produto: derivada de x é 1 e de \sin x é \cos x. Logo,
u'(x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x\cos x.

Passo 4

Para achar v'(x) derivamos x^2+1 e obtemos
v'(x)=2x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente:
r'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
Substituindo em cada termo, fica
r'(x)=\frac{(\sin x + x\cos x)(x^2+1) - (x\sin x)(2x)}{(x^2+1)^2}.

Passo 6

Vamos simplificar o numerador em etapas:
(\sin x + x\cos x)(x^2+1) = x^2\sin x + \sin x + x^3\cos x + x\cos x,
subtraindo 2x^2\sin x, o numerador vira
x^2\sin x + \sin x + x^3\cos x + x\cos x - 2x^2\sin x.
Agrupando os termos de \sin x e de \cos x, obtemos
\sin x - x^2\sin x = (1 - x^2)\sin x,
x^3\cos x + x\cos x = x(x^2+1)\cos x.
Portanto
r'(x)=\frac{(1 - x^2)\sin x + x(x^2+1)\cos x}{(x^2+1)^2}.

Resposta

r'(x)=\frac{(1 - x^2)\sin x + x(x^2+1)\cos x}{(x^2+1)^2}.

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