Questão 4. Calcule a derivada das seguintes funções:
(iii) h(x)=\cos ^{2}(\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=\cos^{2}(\sin x). Aqui vamos usar a regra da cadeia em duas etapas, pois há uma composição de uma potência, uma função cosseno e uma função seno.

Passo 2

Definimos
u(x)=\cos(\sin x)
de modo que
h(x)=u(x)^{2}.
Aplicando a derivada da potência, temos
h'(x)=2\,u(x)\,u'(x).

Passo 3

Agora precisamos de u'(x). Como u(x)=\cos(v(x)) com v(x)=\sin x, a regra da cadeia dá
u'(x) = -\sin(v(x))\cdot v'(x).
Mas v'(x)=\cos x, logo
u'(x) = -\sin(\sin x)\,\cos x.

Passo 4

Substituindo em h'(x)=2\,u(x)\,u'(x):
h'(x)=2\,\cos(\sin x)\,\bigl(-\sin(\sin x)\cos x\bigr) =-2\,\cos x\,\cos(\sin x)\,\sin(\sin x).

Resposta

h'(x) = -2\,\cos x\,\cos(\sin x)\,\sin(\sin x).

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