Questão: Calcule a derivada de
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
dada por
Informações que temos:
- A função é uma composição de várias funções: uma secante, elevada ao quadrado, aplicada a
. - O objetivo é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Identificação clara das camadas da composição (para aplicar a regra da cadeia com calma).
Definimos as funções intermediárias:
Definimos as funções intermediárias:
Ou, de forma compacta,
.
Passo 3
Regra que vamos usar agora (explicação didática da regra da cadeia e da regra do poder).
- Regra do poder (para função composta): se
com constante, então
Aqui
é a função interna e
sua derivada. Isso é útil para diferenciar o quadrado externo.
- Regra da cadeia (forma geral): se
, então
Ou seja, deriva-se a função externa avaliando-a na função interna e multiplicando pela derivada da função interna.
Vou aplicar primeiro a regra do poder ao quadrado externo, deixando a derivação do interior para depois.
Passo 4
Aplicando a regra do poder ao quadrado externo.
Tomando , temos
. Pela regra do poder,
Tomando
Agora precisamos calcular
, que é a derivada de
.
Passo 5
Derivada de
— usar a regra da cadeia de novo.
Sabemos (ou vamos demonstrar rapidinho) que a derivada de em relação a
é
. Breve demonstração:
Sabemos (ou vamos demonstrar rapidinho) que a derivada de
Aplicando a regra da cadeia para
,
Passo 6
Derivada de
— usar novamente a regra do poder com cadeia interna.
Trate com
. Pela regra do poder,
Trate
E
. Portanto
Passo 7
Agora voltamos e juntamos tudo: substituir
e
em
.
Temos de Passo 4:
Temos de Passo 4:
E de Passo 5:
Substituindo,
Isto é
Passo 8
Substituir
(do Passo 6) e
na expressão anterior e simplificar os coeficientes.
Multiplicando
por
obtemos
, logo