Questão: Calcule a derivada de
w(x)=\operatorname{sec} ^{2}\left(x^{3}-6\right)^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função w dada por
w(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\bigl((x^{3}-6)^{3}\bigr).
Informações que temos:
  • A função é uma composição de várias funções: uma secante, elevada ao quadrado, aplicada a (x^{3}-6)^{3}.
  • O objetivo é encontrar w'(x), a derivada de w em função de x.

Passo 2

Identificação clara das camadas da composição (para aplicar a regra da cadeia com calma).
Definimos as funções intermediárias:
u(x)=(x^{3}-6)^{3}, \qquad h(u)=\operatorname{sec}(u), \qquad w(x)=\bigl(h(u(x))\bigr)^{2}.
Ou, de forma compacta, w(x)=\bigl(\operatorname{sec}(u(x))\bigr)^{2}.

Passo 3

Regra que vamos usar agora (explicação didática da regra da cadeia e da regra do poder).
  • Regra do poder (para função composta): se y=[g(x)]^{n} com n constante, então
\frac{dy}{dx}=n\,[g(x)]^{\,n-1}\,g'(x).
Aqui g(x) é a função interna e g'(x) sua derivada. Isso é útil para diferenciar o quadrado externo.
  • Regra da cadeia (forma geral): se y=f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa avaliando-a na função interna e multiplicando pela derivada da função interna.
Vou aplicar primeiro a regra do poder ao quadrado externo, deixando a derivação do interior para depois.

Passo 4

Aplicando a regra do poder ao quadrado externo.
Tomando G(x)=\operatorname{sec}(u(x)), temos w(x)=[G(x)]^{2}. Pela regra do poder,
w'(x)=2\,G(x)\,G'(x)=2\,\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\,G'(x).
Agora precisamos calcular G'(x), que é a derivada de G(x)=\operatorname{sec}(u(x)).

Passo 5

Derivada de \operatorname{sec}(u(x)) — usar a regra da cadeia de novo.
Sabemos (ou vamos demonstrar rapidinho) que a derivada de \operatorname{sec} t em relação a t é \operatorname{sec} t\tan t. Breve demonstração:
\operatorname{sec} t=(\cos t)^{-1}\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = -1\cdot(\cos t)^{-2}\cdot(-\sin t)=\frac{\sin t}{\cos^{2}t}=\operatorname{sec} t\tan t.
Aplicando a regra da cadeia para G(x)=\operatorname{sec}(u(x)),
G'(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\,\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 6

Derivada de u(x)=(x^{3}-6)^{3} — usar novamente a regra do poder com cadeia interna.
Trate u(x)=[v(x)]^{3} com v(x)=x^{3}-6. Pela regra do poder,
u'(x)=3\,[v(x)]^{2}\,v'(x).
E v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}-6)=3x^{2}. Portanto
u'(x)=3\,(x^{3}-6)^{2}\cdot 3x^{2}=9x^{2}(x^{3}-6)^{2}.

Passo 7

Agora voltamos e juntamos tudo: substituir G'(x) e u'(x) em w'(x).
Temos de Passo 4:
w'(x)=2\,\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\,G'(x).
E de Passo 5:
G'(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\,\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Substituindo,
w'(x)=2\,\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\cdot\bigl(\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\,\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)\bigr).
Isto é
w'(x)=2\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\,\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 8

Substituir u'(x)=9x^{2}(x^{3}-6)^{2} (do Passo 6) e u(x)=(x^{3}-6)^{3} na expressão anterior e simplificar os coeficientes.
w'(x)=2\,\operatorname{sec}^{2}\!\bigl((x^{3}-6)^{3}\bigr)\,\tan\!\bigl((x^{3}-6)^{3}\bigr)\cdot 9x^{2}(x^{3}-6)^{2}.
Multiplicando 2 por 9 obtemos 18, logo
w'(x)=18\,x^{2}(x^{3}-6)^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\!\bigl((x^{3}-6)^{3}\bigr)\,\tan\!\bigl((x^{3}-6)^{3}\bigr).

Resposta

w'(x)=18\,x^{2}(x^{3}-6)^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\!\bigl((x^{3}-6)^{3}\bigr)\,\tan\!\bigl((x^{3}-6)^{3}\bigr)

Exercícios relacionados