Questão: Calcule as derivadas abaixo.
g(x)=ln (frac{x}{4}).
g(x)=ln (frac{x}{4}).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a(s) derivada(s). Informação fornecida:
- Função:
.
O que é pedido:
- Calcular a derivada de
em relação a , isto é .
Passo 2
Primeiro vamos lembrar uma propriedade muito útil dos logaritmos que facilita essa conta: para quaisquer
e
,
Isto significa que podemos separar o logaritmo de uma razão em diferença de logaritmos. Essa manipulação transforma a função em algo mais simples para derivar.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso
:
Aqui
é apenas uma constante (número), pois não depende de
. Anotar essa separação ajuda porque derivada de soma/diferença é soma/diferença das derivadas.
Passo 4
Agora lembrar as regras de derivação relevantes:
- A derivada da função
(para ) é
Expliquei: isso vem do limite que define a derivada; o resultado prático que se usa em provas é que a taxa de variação do logaritmo natural é
.
- A derivada de uma constante
é :
Passo 5
Aplicando as regras à expressão
:
Portanto, pela via da propriedade logarítmica, obtemos a derivada simplificada.
Passo 6
Vou mostrar também um método alternativo (pela regra da cadeia) para reforçar o entendimento. Considere
. Então
. A regra da cadeia para
diz:
Aqui
. Substituindo:
Resultado idêntico ao do método anterior, ótimo para conferir que está certo.
Passo 7
Observação sobre domínio: a função original
está definida apenas para
(já que
); a derivada também faz sentido nesse mesmo domínio. Força — essa questão é curtinha, mas olhar domínio é algo que costuma cobrar pontos na prova.