Questão: Calcule as derivadas abaixo.
g(x)=ln (frac{x}{4}).

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede para calcular a(s) derivada(s). Informação fornecida:
  • Função: g(x)=\ln\!\left(\frac{x}{4}\right).
O que é pedido:
  • Calcular a derivada de g em relação a x, isto é g'(x).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar uma propriedade muito útil dos logaritmos que facilita essa conta: para quaisquer a>0 e b>0,
\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b.
Isto significa que podemos separar o logaritmo de uma razão em diferença de logaritmos. Essa manipulação transforma a função em algo mais simples para derivar.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso g(x):
g(x)=\ln\!\left(\frac{x}{4}\right)=\ln x-\ln 4.
Aqui \ln 4 é apenas uma constante (número), pois não depende de x. Anotar essa separação ajuda porque derivada de soma/diferença é soma/diferença das derivadas.

Passo 4

Agora lembrar as regras de derivação relevantes:
  • A derivada da função \ln x (para x>0) é
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Expliquei: isso vem do limite que define a derivada; o resultado prático que se usa em provas é que a taxa de variação do logaritmo natural é 1/x.
  • A derivada de uma constante C é 0:
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.

Passo 5

Aplicando as regras à expressão g(x)=\ln x-\ln 4:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(\ln 4\bigr)=\frac{1}{x}-0.
Portanto, pela via da propriedade logarítmica, obtemos a derivada simplificada.

Passo 6

Vou mostrar também um método alternativo (pela regra da cadeia) para reforçar o entendimento. Considere u(x)=\dfrac{x}{4}. Então g(x)=\ln(u(x)). A regra da cadeia para g(x)=\ln(u(x)) diz:
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{4}\right)=\frac{1}{4}. Substituindo:
g'(x)=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{x}{4}}=\frac{1}{x}.
Resultado idêntico ao do método anterior, ótimo para conferir que está certo.

Passo 7

Observação sobre domínio: a função original g(x)=\ln\!\left(\frac{x}{4}\right) está definida apenas para x>0 (já que \frac{x}{4}>0); a derivada também faz sentido nesse mesmo domínio. Força — essa questão é curtinha, mas olhar domínio é algo que costuma cobrar pontos na prova.

Resposta

g'(x)=\dfrac{1}{x}

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