Utilizando a regra de L’Hôpital, calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln(x).
Informações que temos:
  • Quando x\to 0^{+} temos \ln(x)\to -\infty.
  • Quando x\to 0^{+} temos x\to 0.
    Portanto o produto \,x\ln(x)\, é da forma indeterminada 0\cdot(-\infty) (ou, de modo geral, 0\cdot\infty). A resolução seguirá transformando essa forma numa fração adequada para aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Breve explicação da ideia: a regra de L’Hôpital serve para limites que geram as formas indeterminadas \,0/0 ou \infty/\infty. Para usar a regra precisamos reescrever o produto \,x\ln(x)\, como uma razão (fração) cuja numerador e denominador tendam a 0 ou a \pm\infty. Uma transformação útil é escrever o produto como divisão por 1/x:
x\ln(x)=\frac{\ln(x)}{1/x}.
Vou trabalhar com essa fração porque agora podemos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente.

Passo 3

Análise do tipo de indeterminação nesta fração:
  • Quando x\to 0^{+} temos \ln(x)\to -\infty.
  • Quando x\to 0^{+} temos 1/x\to +\infty.
    Logo a fração \dfrac{\ln(x)}{1/x} é do tipo \dfrac{-\infty}{+\infty}, ou seja, da classe \infty/\infty onde a regra de L’Hôpital é aplicável (desde que as derivadas existam no intervalo considerado).

Passo 4

Enunciado (em palavras) da regra de L’Hôpital usada: se \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty e \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty (ou ambos 0), e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a com g'(x)\neq 0 (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existe (ou é \pm\infty). Aqui podemos aplicar essa regra ao caso f(x)=\ln(x) e g(x)=1/x para x\to 0^{+}.

Passo 5

Calcular as derivadas necessárias:
  • Derivada de f(x)=\ln(x) é f'(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Derivada de g(x)=\dfrac{1}{x} é g'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Estas derivadas existem para x>0, que é o nosso intervalo de interesse (tudo correto para aplicar L’Hôpital).

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(x)}{1/x} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Agora simplifico a fração das derivadas passo a passo:
\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{x^{2}}{1}\right)=-x.
Portanto o limite se reduz a
\lim_{x\to 0^{+}}(-x).

Passo 7

Avaliação final do limite:
\lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0.
Interpretação prática: apesar de \ln(x) divergir para -\infty, o fator x vai a zero tão rapidamente que o produto tende a 0. (É uma boa intuição para a prova: exponenciais/potências dominam logaritmos e lineares aqui.)

Resposta

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