Utilizando a regra de L’Hôpital, calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações que temos:
- Quando
temos . - Quando
temos .
Portanto o produtoé da forma indeterminada (ou, de modo geral, ). A resolução seguirá transformando essa forma numa fração adequada para aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Breve explicação da ideia: a regra de L’Hôpital serve para limites que geram as formas indeterminadas
ou
. Para usar a regra precisamos reescrever o produto
como uma razão (fração) cuja numerador e denominador tendam a
ou a
. Uma transformação útil é escrever o produto como divisão por
:
Vou trabalhar com essa fração porque agora podemos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente.
Passo 3
Análise do tipo de indeterminação nesta fração:
- Quando
temos . - Quando
temos .
Logo a fraçãoé do tipo , ou seja, da classe onde a regra de L’Hôpital é aplicável (desde que as derivadas existam no intervalo considerado).
Passo 4
Enunciado (em palavras) da regra de L’Hôpital usada: se
e
(ou ambos
), e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
com
(exceto possivelmente em
), então
quando o limite do lado direito existe (ou é
). Aqui podemos aplicar essa regra ao caso
e
para
.
Passo 5
Calcular as derivadas necessárias:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Estas derivadas existem para
, que é o nosso intervalo de interesse (tudo correto para aplicar L’Hôpital).
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora simplifico a fração das derivadas passo a passo:
Portanto o limite se reduz a
Passo 7
Avaliação final do limite:
Interpretação prática: apesar de
divergir para
, o fator
vai a zero tão rapidamente que o produto tende a
. (É uma boa intuição para a prova: exponenciais/potências dominam logaritmos e lineares aqui.)