Questão: Calcule as derivadas abaixo.
f(x)=operatorname{arcsen}(2 e^{x}).
f(x)=operatorname{arcsen}(2 e^{x}).
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de
.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é a composição da função
com a função . - Para que
esteja bem definida no sentido real, o argumento precisa satisfazer . Portanto, a expressão impõe restrição de domínio sobre (vou usar isso depois).
Passo 2
Vamos lembrar duas fórmulas-chave que serão usadas (a “aula rápida” aqui):
- Regra da cadeia (chain rule). Se uma função
é composta como , então a derivada é
Explicando:
é a função interna;
é a derivada da função externa avaliada na interna; multiplicamos pelo derivado da interna
.
- Derivada da função arco-seno. Para a variável auxiliar
,
Aqui
é o argumento de
. Note que o denominador exige
(ou seja
) para a derivada existir finita.
Passo 3
Identificamos a função interna e calculamos seu derivado. Defina
A derivada de
é simples porque
. Assim,
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia combinando as fórmulas do Passo 2 e o
do Passo 3. Usando
temos
Substituindo
e
,
Agora simplificamos o quadrado dentro da raiz:
portanto a forma final é
Passo 5
Comentário sobre domínio e validade da derivada (importante para a prova): a função original exige
. Como
para todo
, isso reduz-se a
, ou seja
e portanto
. A derivada envolve
no denominador; para ela ser finita e real precisa-se de
, isto é
ou
. Conclusão:
- A função
está definida em . - A derivada encontrada é válida (finita) em
. - No ponto
o denominador zera e a derivada não existe (tende a infinito, tangente vertical).
Passo 6
Exemplo de substituição para ficar pratical: para
(observe que
), a derivada é
Isso mostra como aplicar a fórmula em um ponto concreto.