Questão: Calcule as derivadas abaixo.
f(x)=operatorname{arcsen}(2 e^{x}).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de f(x)=\operatorname{arcsen}\!\bigl(2e^{x}\bigr).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é a composição da função \operatorname{arcsen}(\cdot) com a função 2e^{x}.
  • Para que \operatorname{arcsen}(y) esteja bem definida no sentido real, o argumento y precisa satisfazer -1 \le y \le 1. Portanto, a expressão 2e^{x} impõe restrição de domínio sobre x (vou usar isso depois).

Passo 2

Vamos lembrar duas fórmulas-chave que serão usadas (a “aula rápida” aqui):
  1. Regra da cadeia (chain rule). Se uma função F é composta como F(x)=G\bigl(U(x)\bigr), então a derivada é
F'(x)=G'\bigl(U(x)\bigr)\cdot U'(x).
Explicando: U(x) é a função interna; G'(U(x)) é a derivada da função externa avaliada na interna; multiplicamos pelo derivado da interna U'(x).
  1. Derivada da função arco-seno. Para a variável auxiliar t,
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{arcsen}(t)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},\qquad\text{para }-1<t<1.
Aqui t é o argumento de \operatorname{arcsen}. Note que o denominador exige 1-t^{2}>0 (ou seja t\neq\pm1) para a derivada existir finita.

Passo 3

Identificamos a função interna e calculamos seu derivado. Defina
U(x)=2e^{x}.
A derivada de U é simples porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Assim,
U'(x)=2\frac{d}{dx}e^{x}=2e^{x}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia combinando as fórmulas do Passo 2 e o U'(x) do Passo 3. Usando
f(x)=\operatorname{arcsen}\bigl(U(x)\bigr),
temos
f'(x)=\frac{U'(x)}{\sqrt{1-\bigl(U(x)\bigr)^{2}}}.
Substituindo U(x)=2e^{x} e U'(x)=2e^{x},
f'(x)=\frac{2e^{x}}{\sqrt{1-\bigl(2e^{x}\bigr)^{2}}}.
Agora simplificamos o quadrado dentro da raiz:
\bigl(2e^{x}\bigr)^{2}=4e^{2x},
portanto a forma final é
f'(x)=\frac{2e^{x}}{\sqrt{1-4e^{2x}}}.

Passo 5

Comentário sobre domínio e validade da derivada (importante para a prova): a função original exige -1 \le 2e^{x} \le 1. Como 2e^{x}>0 para todo x, isso reduz-se a 0<2e^{x}\le1, ou seja e^{x}\le\tfrac{1}{2} e portanto x\le -\ln 2. A derivada envolve \sqrt{1-4e^{2x}} no denominador; para ela ser finita e real precisa-se de 1-4e^{2x}>0, isto é e^{2x}<\tfrac{1}{4} ou x< -\ln 2. Conclusão:
  • A função f está definida em x\le -\ln 2.
  • A derivada encontrada é válida (finita) em x< -\ln 2.
  • No ponto x=-\ln 2 o denominador zera e a derivada não existe (tende a infinito, tangente vertical).

Passo 6

Exemplo de substituição para ficar pratical: para x=-1 (observe que -1<-\ln 2), a derivada é
f'(-1)=\frac{2e^{-1}}{\sqrt{1-4e^{-2}}}.
Isso mostra como aplicar a fórmula em um ponto concreto.

Resposta

f'(x)=\dfrac{2e^{x}}{\sqrt{1-4e^{2x}}}

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