Questão: Calcule as derivadas abaixo.
h(x)=(x^{2}-1)
cdot arctan (sqrt{x}).
h(x)=(x^{2}-1)
cdot arctan (sqrt{x}).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
- A função é produto de duas partes:
e . - A expressão
exige ; a fórmula para que obteremos envolve divisão por , portanto valerá para . (Comentário sobre o ponto será feito depois.)
Passo 2
Estratégia de resolução (explicada passo a passo):
- Usar a regra do produto: se
, então
Aqui definimos
e
.
- Para obter
usaremos a regra da cadeia, pois com . A regra da cadeia diz que se então .
Vou aplicar essas regras detalhadamente.
Passo 3
Derivada de
.
Regra usada: regra do power (potência). Para
temos
.
Aplicando:
Passo 4
Derivada de
via regra da cadeia.
Primeiro, a derivada de
em relação a
é
Aqui
. Então pela cadeia:
Agora calculamos
. Usando potência:
Substituindo na expressão de
e lembrando que
:
Observação: esta expressão tem divisão por
, por isso é válida para
.
Passo 5
Aplicar a regra do produto para obter
.
Temos
,
,
e
. Pela regra do produto:
Substituindo:
Passo 6
Simplificação e comentário sobre domínio.
A forma obtida é já bastante prática para a prova:
Domínio da derivada: essa fórmula vale para
(por causa do termo
no denominador). Em
a derivada não existe (pela direita ela tende a
porque o segundo termo domina e tem comportamento singular).
Dica rápida para a prova: escreva claramente que usou regra do produto e regra da cadeia, defina
e
, calcule
e
separadamente e depois some
. Isso deixa a solução organizada e evita erros.