Questão: Calcule as derivadas abaixo.
h(x)=(x^{2}-1)
cdot arctan (sqrt{x}).

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=(x^{2}-1)\cdot \arctan\big(\sqrt{x}\big)
e pede para calcular a derivada h'(x).
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A função é produto de duas partes: x^{2}-1 e \arctan(\sqrt{x}).
  • A expressão \sqrt{x} exige x\ge 0; a fórmula para h'(x) que obteremos envolve divisão por \sqrt{x}, portanto valerá para x>0. (Comentário sobre o ponto x=0 será feito depois.)

Passo 2

Estratégia de resolução (explicada passo a passo):
  • Usar a regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui definimos u(x)=x^{2}-1 e v(x)=\arctan(\sqrt{x}).
  • Para obter v'(x) usaremos a regra da cadeia, pois v(x)=\arctan\big(t(x)\big) com t(x)=\sqrt{x}. A regra da cadeia diz que se v(x)=\varphi(t(x)) então v'(x)=\varphi'(t(x))\cdot t'(x).
Vou aplicar essas regras detalhadamente.

Passo 3

Derivada de u(x)=x^{2}-1.
Regra usada: regra do power (potência). Para x^{n} temos \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}-1\big)=2x.

Passo 4

Derivada de v(x)=\arctan\big(\sqrt{x}\big) via regra da cadeia.
Primeiro, a derivada de \arctan(t) em relação a t é
\frac{d}{dt}\arctan(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Aqui t(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. Então pela cadeia:
v'(x)=\frac{1}{1+\big(\sqrt{x}\big)^{2}}\cdot \frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big).
Agora calculamos \dfrac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big). Usando potência:
\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Substituindo na expressão de v'(x) e lembrando que \big(\sqrt{x}\big)^{2}=x:
v'(x)=\frac{1}{1+x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}.
Observação: esta expressão tem divisão por \sqrt{x}, por isso é válida para x>0.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para obter h'(x).
Temos u'(x)=2x, u(x)=x^{2}-1, v(x)=\arctan(\sqrt{x}) e v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}. Pela regra do produto:
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo:
h'(x)=2x\cdot \arctan\big(\sqrt{x}\big)+\big(x^{2}-1\big)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}.

Passo 6

Simplificação e comentário sobre domínio.
A forma obtida é já bastante prática para a prova:
h'(x)=2x\,\arctan\big(\sqrt{x}\big)+\frac{x^{2}-1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}.
Domínio da derivada: essa fórmula vale para x>0 (por causa do termo \sqrt{x} no denominador). Em x=0 a derivada não existe (pela direita ela tende a -\infty porque o segundo termo domina e tem comportamento singular).
Dica rápida para a prova: escreva claramente que usou regra do produto e regra da cadeia, defina u e v, calcule u' e v' separadamente e depois some u'v+uv'. Isso deixa a solução organizada e evita erros.

Resposta

h'(x)=2x\,\arctan\big(\sqrt{x}\big)+\frac{x^{2}-1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}

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