Questão 1. Calcule as derivadas
f(x)=sin ^2(x+1)x+3 log 2(e^x)

Passo 1

O enunciado pede f'(x) para
f(x) = sin^2(x+1)x + 3log2l(e^xr)
O conteúdo envolvido são a regra do quociente, a regra da cadeia, identidade trigonométrica sin2theta=2sinthetacostheta e derivada de logaritmo em base arbitrária.

Passo 2

Para o primeiro termo, defina
u(x)=sin^2(x+1), v(x)=x
Pela regra do quociente,
l(tfracuvr)'=u',v - u,v'v^2
Calculamos u' usando a cadeia:
u'(x)=2sin(x+1)cos(x+1)=sinl(2(x+1)r)
Como v'(x)=1, segue
gl(sin^2(x+1)xgr)' =xsinl(2(x+1)r)-sin^2(x+1)x^2

Passo 3

Para o segundo termo, use
log2l(e^xr) =lnl(e^xr)ln2 =xln2
Logo
ddxl[3log2(e^x)r] =3cdotddxl(tfracxln2r) =3ln2

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
f'(x) =xsinl(2(x+1)r)-sin^2(x+1)x^2 +3ln2

Resposta

f'(x) =xsinl(2(x+1)r)-sin^2(x+1)x^2 +3ln2

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