Questão 0.3. Calcule a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y)

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do núcleo (nullidade) e da imagem (posto) da transformação linear Tcolon R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x - 2y,;z,;x + y,)
Vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de soluções de T(x,y,z)=0, a imagem como o espaço gerado pelas colunas da matriz de T e o Teorema posto–nulidade:
dim(ker T) + dim(ImT) = 3

Passo 2

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0),
que dá o sistema
x - 2y = 0, z = 0, x + y = 0
Da segunda equação vem ;z=0. Da primeira, ;x=2y. Substituindo em x+y=0 obtemos 2y+y=3y=0, logo y=0 e x=0.

Passo 3

Como a única solução é (x,y,z)=(0,0,0), o núcleo é trivial e
dim(ker T) = 0

Passo 4

Para a imagem, consideramos a matriz de T na base canônica:
A = 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0
Calculamos o determinante:
det A = -3 neq 0,
logo A é invertível e tem posto máximo.

Passo 5

Portanto,
dim(ImT) = rank(A) = 3,
o que é consistente com dim(ker T)+dim(ImT)=0+3=3.

Resposta

dim(ker T)=0 e dim(ImT)=3.

Exercícios relacionados