Questão 0.3. Calcule a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do núcleo (nullidade) e da imagem (posto) da transformação linear
definida por
Vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de soluções de
, a imagem como o espaço gerado pelas colunas da matriz de
e o Teorema posto–nulidade:
Passo 2
Para achar o núcleo, resolvemos
que dá o sistema
Da segunda equação vem
;z=0 . Da primeira,
;x=2y . Substituindo em
x+y=0 obtemos
2y+y=3y=0 , logo
y=0 e
x=0 .
Passo 3
Como a única solução é
(x,y,z)=(0,0,0) , o núcleo é trivial e
Passo 4
Para a imagem, consideramos a matriz de
T na base canônica:
Calculamos o determinante:
logo
A é invertível e tem posto máximo.
Passo 5
Portanto,
o que é consistente com
dim(ker T)+dim(ImT)=0+3=3 .