Questão 0.1. Verifique se as seguintes funções são transformações lineares:
T: R^4 R^2 ; T(x, y, z, w)=(x+y+2 z,-x+2 w)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T:R^4toR^2, T(x,y,z,w)=(x+y+2z,,-x+2w)
é transformação linear. Para isso usamos a definição: T é linear se, para quaisquer u,vinR^4 e todo escalar lambda, valem
T(u+v)=T(u)+T(v), T(lambda u)=lambda,T(u)

Passo 2

Verificação da aditividade. Dados
u=(x1,y1,z1,w1), v=(x2,y2,z2,w2),
temos
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;w1+w2)
Então
T(u+v) =l((x1+x2)+(y1+y2)+2(z1+z2),;-(x1+x2)+2(w1+w2)r)
Como
(x1+x2)+(y1+y2)+2(z1+z2) =(x1+y1+2z1)+(x2+y2+2z2),
-(x1+x2)+2(w1+w2) =(-x1+2w1)+(-x2+2w2),
segue-se
T(u+v) =(x1+y1+2z1,,-x1+2w1)+(x2+y2+2z2,,-x2+2w2) =T(u)+T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para lambdainR e
u=(x,y,z,w),
temos
lambda u=(lambda x,;lambda y,;lambda z,;lambda w),
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T(lambda u) =l(lambda x+lambda y+2lambda z,;-lambda x+2lambda wr) =lambda,(x+y+2z,,-x+2w) =lambda,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é transformação linear.

Resposta

Sim, T é transformação linear.

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