Questão 0.3. Calcule a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
Passo 1
O enunciado pede calcular a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
Para isso vamos usar: (i) resolução de sistema linear para encontrar
e (ii) análise do posto (rank) da matriz associada para
.
Passo 2
Para achar
Somando as equações obtemos , e então
. Assim
Passo 3
Como o único vetor do núcleo é o vetor zero, concluímos
Passo 4
A matriz de
na base canônica é
cuja colunas são
11 e
-11 . Essas duas colunas não são múltiplas uma da outra, portanto são linearmente independentes.
Passo 5
Como há duas colunas independentes em
R^2 , o posto de
A é 2. Logo