Questão 0.3. Calcule a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x-y, x+y)

Passo 1

O enunciado pede calcular a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
T:R^2toR^2, T(x,y)=(x-y,;x+y)
Para isso vamos usar: (i) resolução de sistema linear para encontrar ker(T) e (ii) análise do posto (rank) da matriz associada para Im(T).

Passo 2

Para achar
Somando as equações obtemos , e então . Assim

Passo 3

Como o único vetor do núcleo é o vetor zero, concluímos
diml(ker(T)r)=0

Passo 4

A matriz de T na base canônica é
A= 1 & -1 1 & ;1 ,
cuja colunas são 11 e -11. Essas duas colunas não são múltiplas uma da outra, portanto são linearmente independentes.

Passo 5

Como há duas colunas independentes em R^2, o posto de A é 2. Logo
diml(Im(T)r)=2

Resposta

dim(ker(T))=0 e dim(Im(T))=2.

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