1. Sejam e . Verifique que:

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3, u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2), e pede para mostrar que
2,ucdotv ;=;|u|^2 + |v|^2 - |u-v|^2
Vamos usar as definições de produto escalar e norma para desenvolver o lado direito e verificar que ele se reduz a 2,ucdotv.

Passo 2

Lembrando que, pelas definições,
ucdotu=|u|^2, vcdotv=|v|^2, ucdotv=x1x2+y1y2+z1z2,
e
|u-v|^2=(u-v)cdot(u-v)

Passo 3

Vamos expandir o termo |u-v|^2:
|u-v|^2 =(u-v)cdot(u-v) =ucdotu -2,ucdotv +vcdotv

Passo 4

Substituindo essa expansão na expressão |u|^2+|v|^2-|u-v|^2, temos
|u|^2+|v|^2 -l(ucdotu-2,ucdotv+vcdotvr) = ucdotu+vcdotv-ucdotu+2,ucdotv-vcdotv =2,ucdotv
Isso coincide exatamente com o lado esquerdo da identidade.

Resposta

A igualdade está verificada, pois ao expandir chegamos a
2,ucdotv =|u|^2+|v|^2-|u-v|^2

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