Questão 0.3. Calcule a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem):
Passo 2
Vamos escrever na forma matricial em relação às bases canônicas. A matriz de é
pois a primeira linha codifica x+y+2z e a segunda -x+2w. Para encontrar dimIm(T) basta achar o posto de A. Como as duas linhas não são múltiplos uma da outra, elas são linearmente independentes, logo
rank(A)=2 Longrightarrow dimIm(T)=2
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema da Dimensão para obter a dimensão do núcleo: