Questão 0.3. Calcule a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
T: R^4 R^2 ; T(x, y, z, w)=(x+y+2 z,-x+2 w)

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
Tcolon R^4toR^2, T(x,y,z,w)=(x+y+2z,,-x+2w)
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem):
dimker(T)+dimIm(T)=dimR^4=4

Passo 2

Vamos escrever T na forma matricial em relação às bases canônicas. A matriz A de T é
A = 1 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 ,
pois a primeira linha codifica x+y+2z e a segunda -x+2w. Para encontrar dimIm(T) basta achar o posto de A. Como as duas linhas não são múltiplos uma da outra, elas são linearmente independentes, logo
rank(A)=2 Longrightarrow dimIm(T)=2

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema da Dimensão para obter a dimensão do núcleo:
dimker(T)=4 - dimIm(T)=4 - 2 = 2

Resposta

dimker(T)=2
dimIm(T)=2

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