QUESTÃO 4 - Calcule o divergente e o rotacional das seguintes funções
Na prova vai ser uma alternativa desse tipo só.
\vec{f}(x, y, z)=\left(e^{y}, e^{y}, e^{z}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec f(x,y,z) = \bigl(e^y,e^y,e^z\bigr)
e pede o divergente e o rotacional. Vamos usar as definições e derivadas parciais de cada componente:
\nabla\cdot\vec f = \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z}
\nabla\times\vec f = \Bigl(\frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_2}{\partial z},\;\frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_3}{\partial x},\;\frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y}\Bigr)

Passo 2

Calcular o divergente: \;f_1(x,y,z)=e^y,\;f_2(x,y,z)=e^y,\;f_3(x,y,z)=e^z.
Logo,
\frac{\partial f_1}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f_2}{\partial y} = e^y,\quad \frac{\partial f_3}{\partial z} = e^z
Portanto,
\nabla\cdot\vec f = 0 + e^y + e^z = e^y + e^z.

Passo 3

Calcular o rotacional, componente a componente:
  1. Componente x:
\frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_2}{\partial z} = 0 - 0 = 0.
  1. Componente y:
\frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_3}{\partial x} = 0 - 0 = 0.
  1. Componente z:
\frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y} = 0 - e^y = -\,e^y.
Assim,
\nabla\times\vec f = (0,\,0,\,-e^y).

Resposta

Divergente:
\nabla\cdot\vec f = e^y + e^z.
Rotacional:
\nabla\times\vec f = (0,\,0,\,-e^y).

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