QUESTÃO 3 - DEFINA A INTEGRAL PARA OBTER O VOLUME DE CADA UM DOS SÓLIDOS ABAIXO Não é para resolver a integral. Na prova deve cair uma retangular e uma cilíndrica e uma esférica. Importante: não precisa calcular; é só para colocar os limites de integração
Sugestão: coordenadas cilíndricas

Passo 1

O sólido G é dado por
G=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le9,\;0\le z\le 9 - x^2 - y^2\}.
Para calcular o volume usamos coordenadas cilíndricas, em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas as desigualdades viram
0 \le r \le 3,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le z \le 9 - r^2.
Logo a integral que define o volume de G é
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{3} \int_{z=0}^{9 - r^2} r \,dz\,dr\,d\theta.

Resposta

\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{9 - r^2}r\,dz\,dr\,d\theta.

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