Questão 3 Calcule
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
da função dada.
Informação que temos: a função é
Informação que temos: a função é
Nada mais é fornecido — a missão é obter a fórmula para a derivada de
.
Passo 2
Reconhecendo a estrutura da função (sem resolver ainda): ela é uma composição. Vamos escrever a parte interna separadamente para ficar claro:
de modo que
Ou seja, há uma função externa (a exponencial) aplicada a uma função interna
.
Passo 3
Regra que vamos usar (explicação didática): quando temos uma composição
, a derivada é dada pela regra da cadeia:
Aqui
é a função externa e
é a função interna. Isso significa: derivamos primeiro a função externa (avaliada na interna) e multiplicamos pela derivada da função interna. Exemplo simples: se
e
, então
Perceba que a derivada da exponencial não altera a forma, apenas aparece o fator da derivada da parte interna.
Passo 4
Aplicando a ideia ao nosso caso: a função externa é
e a interna é
. A derivada de
em relação a
é
portanto, pela regra da cadeia,
Agora só resta calcular
.
Passo 5
Calcular
passo a passo (regras usadas: regra do poder e multiplicação por constante). Temos
Derivando termo a termo:
- Para
: usamos a regra do poder . Então
- Para
: a derivada de é . Então
Somando os dois resultados,
Passo 6
Juntando tudo pela regra da cadeia: substituímos
e
na expressão de
:
Podemos reescrever de forma convencional como
Passo 7
Pequeno teste mental (opcional, para conferir): se quisermos o valor numérico da derivada em
, substituímos
em
:
Faz sentido: é um valor finito e consistente com a fórmula.