Questão 3 Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=e^{2 x^{2}-3 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada f'(x) da função dada.
Informação que temos: a função é
f(x)=e^{2x^{2}-3x}.
Nada mais é fornecido — a missão é obter a fórmula para a derivada de f.

Passo 2

Reconhecendo a estrutura da função (sem resolver ainda): ela é uma composição. Vamos escrever a parte interna separadamente para ficar claro:
u(x)=2x^{2}-3x,
de modo que
f(x)=e^{u(x)}.
Ou seja, há uma função externa (a exponencial) aplicada a uma função interna u(x).

Passo 3

Regra que vamos usar (explicação didática): quando temos uma composição g(h(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(g(h(x))\bigr)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Aqui g é a função externa e h é a função interna. Isso significa: derivamos primeiro a função externa (avaliada na interna) e multiplicamos pela derivada da função interna. Exemplo simples: se g(t)=e^{t} e h(x)=3x, então
\frac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3.
Perceba que a derivada da exponencial não altera a forma, apenas aparece o fator da derivada da parte interna.

Passo 4

Aplicando a ideia ao nosso caso: a função externa é g(t)=e^{t} e a interna é u(x)=2x^{2}-3x. A derivada de g(t) em relação a t é
g'(t)=e^{t},
portanto, pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Agora só resta calcular u'(x).

Passo 5

Calcular u'(x) passo a passo (regras usadas: regra do poder e multiplicação por constante). Temos
u(x)=2x^{2}-3x.
Derivando termo a termo:
  • Para 2x^{2}: usamos a regra do poder \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Então
\frac{d}{dx}(2x^{2})=2\cdot \frac{d}{dx}(x^{2})=2\cdot(2x)=4x.
  • Para -3x: a derivada de ax é a. Então
\frac{d}{dx}(-3x)=-3.
Somando os dois resultados,
u'(x)=4x-3.

Passo 6

Juntando tudo pela regra da cadeia: substituímos u(x) e u'(x) na expressão de f'(x):
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{2x^{2}-3x}\cdot(4x-3).
Podemos reescrever de forma convencional como
f'(x)=(4x-3)\,e^{2x^{2}-3x}.

Passo 7

Pequeno teste mental (opcional, para conferir): se quisermos o valor numérico da derivada em x=1, substituímos x=1 em (4x-3)e^{2x^{2}-3x}:
f'(1)=(4\cdot1-3)e^{2\cdot1^{2}-3\cdot1}=(4-3)e^{-1}=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.
Faz sentido: é um valor finito e consistente com a fórmula.

Resposta

f'(x)=(4x-3)e^{2x^{2}-3x}

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