Questão 3 Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(x) da função dada. As informações fornecidas são:
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{3}+2x\bigr).
Queremos a derivada de f em função de x, ou seja, uma expressão para f^{\prime}(x).

Passo 2

Identificar as partes da função: vemos que f é uma composição de duas funções — uma função exterior e uma função interior. Vamos chamar a função interior de
u(x)=x^{3}+2x,
e a função exterior de
g(u)=\operatorname{sen}(u).
Na prática, isto significa que f(x)=g\bigl(u(x)\bigr). A técnica que usamos para derivar uma composição é multiplicar a derivada da função exterior avaliada na interior pela derivada da interior (regra da cadeia). Em fórmulas:
\frac{d}{dx}\bigl(g(u(x))\bigr)=g^{\prime}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u^{\prime}(x).

Passo 3

Encontrar a derivada da função interior u(x)=x^{3}+2x.
Usamos a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) e a linearidade (derivada de soma é soma das derivadas):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2.
Portanto
u^{\prime}(x)=3x^{2}+2.

Passo 4

Encontrar a derivada da função exterior g(u)=\operatorname{sen}(u) em termos de u.
A derivada da função seno é o cosseno:
g^{\prime}(u)=\cos(u).
Quando aplicamos a regra da cadeia, avaliamos g^{\prime} na função interior u(x), ou seja g^{\prime}\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(x^{3}+2x\bigr).

Passo 5

Combinar os resultados usando a regra da cadeia:
f^{\prime}(x)=g^{\prime}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u^{\prime}(x).
Substituindo g^{\prime}\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(x^{3}+2x\bigr) e u^{\prime}(x)=3x^{2}+2, obtemos
f^{\prime}(x)=\cos\bigl(x^{3}+2x\bigr)\cdot\bigl(3x^{2}+2\bigr).

Passo 6

Uma forma prática e rápida de lembrar para a prova: identifique a parte de dentro (aqui x^{3}+2x) e a parte de fora ( \operatorname{sen}(\cdot)). Derive a parte de fora mantendo a parte de dentro (derivada de \operatorname{sen} é \cos) e multiplique pela derivada da parte de dentro (aqui 3x^{2}+2). Exemplo curto parecido: para h(x)=\operatorname{sen}(x^{2}) teríamos h^{\prime}(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x.

Resposta

f^{\prime}(x)=\cos\bigl(x^{3}+2x\bigr)\bigl(3x^{2}+2\bigr)

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