Questão 3 Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - A raiz quadrada
é sempre positiva para todo (porque ), então está bem definida para todo real. - A tarefa é achar a expressão de
(a derivada em termos de ).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão antes de derivar usando propriedades de logaritmo e potência. Lembre que
e
. Aplicando com
e
, obtemos:
Isso facilita a diferenciação porque reduz a composição.
Passo 3
Revisão das regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada de uma constante multiplicando uma função: se
com constante, então . - Derivada do logaritmo natural: se
com , então
Aqui
.
- Derivada do polinômio
: .
Passo 4
Agora aplicamos as regras passo a passo. Usando
e a regra do produto por constante:
Usando a regra da derivada do logaritmo com
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Simplificamos a fração:
. Portanto
Verifique que o denominador
nunca é zero, então essa expressão é válida para todo
.
Passo 6
(Confirmação alternativa, mostrando a cadeia completa sem usar a propriedade do logaritmo) Começando de
, coloque
. Então
Agora
implica
que é o mesmo resultado — bom sinal de consistência.
Passo 7
Pequeno cheque numérico para ganhar confiança:
- Para
: . - Para
: .
Isso faz sentido: derivada nula emporque a função tem mínimo horizontal em (simetria do ).