Questão 3 Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+4}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada f^{\prime}(x) da função
f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+4}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A função é \displaystyle f(x)=\ln\big(\sqrt{x^{2}+4}\big).
  • A raiz quadrada \sqrt{x^{2}+4} é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R} (porque x^{2}+4\ge 4>0), então f está bem definida para todo real.
  • A tarefa é achar a expressão de f^{\prime}(x) (a derivada em termos de x).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão antes de derivar usando propriedades de logaritmo e potência. Lembre que \sqrt{z}=z^{1/2} e \ln(z^{a})=a\ln(z). Aplicando com z=x^{2}+4 e a=\tfrac{1}{2}, obtemos:
f(x)=\ln\!\big((x^{2}+4)^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln\!(x^{2}+4).
Isso facilita a diferenciação porque reduz a composição.

Passo 3

Revisão das regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Derivada de uma constante multiplicando uma função: se h(x)=c\cdot g(x) com c constante, então h'(x)=c\cdot g'(x).
  • Derivada do logaritmo natural: se g(x)=\ln(u(x)) com u(x)>0, então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=x^{2}+4.
  • Derivada do polinômio x^{2}+4: \dfrac{d}{dx}(x^{2}+4)=2x.

Passo 4

Agora aplicamos as regras passo a passo. Usando f(x)=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+4) e a regra do produto por constante:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}\big(\ln(x^{2}+4)\big).
Usando a regra da derivada do logaritmo com u(x)=x^{2}+4:
\frac{d}{dx}\big(\ln(x^{2}+4)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+4}.
Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^{2}+4}.

Passo 5

Simplificamos a fração: \tfrac{1}{2}\cdot 2x = x. Portanto
f'(x)=\frac{x}{x^{2}+4}.
Verifique que o denominador x^{2}+4 nunca é zero, então essa expressão é válida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

(Confirmação alternativa, mostrando a cadeia completa sem usar a propriedade do logaritmo) Começando de f(x)=\ln\big(\sqrt{x^{2}+4}\big), coloque g(x)=\sqrt{x^{2}+4}=(x^{2}+4)^{1/2}. Então
g'(x)=\tfrac{1}{2}(x^{2}+4)^{-1/2}\cdot 2x = x(x^{2}+4)^{-1/2}.
Agora f(x)=\ln(g(x)) implica
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{x(x^{2}+4)^{-1/2}}{(x^{2}+4)^{1/2}}=\frac{x}{x^{2}+4},
que é o mesmo resultado — bom sinal de consistência.

Passo 7

Pequeno cheque numérico para ganhar confiança:
  • Para x=1: f'(1)=\dfrac{1}{1^{2}+4}=\dfrac{1}{5}.
  • Para x=0: f'(0)=0.
    Isso faz sentido: derivada nula em 0 porque a função \ln(\sqrt{x^{2}+4}) tem mínimo horizontal em x=0 (simetria do x^{2}).

Resposta

\dfrac{x}{x^{2}+4}

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