C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e (0,1) por dois métodos:
(a) diretamente,
(b) utilizando o Teorema de Green.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} x y\,dx + x^{2}\,dy,
onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1), por dois métodos: (a) diretamente (parametrizando cada lado) e (b) usando o Teorema de Green.
Informações dadas e convenções que vou usar:
A função que aparece na integral é P(x,y)=x y multiplicando dx e Q(x,y)=x^{2} multiplicando dy.
A curva C é o triângulo com vértices (0,0)\to(1,0)\to(0,1)\to(0,0). Vou assumir a orientação positiva (contra-horária), que é o sentido usual quando se aplica o Teorema de Green.
Vou dividir C em três segmentos: C_1 de (0,0) a (1,0), C_2 de (1,0) a (0,1) (a hipotenusa), e C_3 de (0,1) a (0,0).
Passo 2
Explicação didática do método direto (parametrização de cada lado) e da fórmula a usar:
Se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], então