2^{a} Questão: Calcule a integral de linha
\oint_{C} x y d x+x^{2} d y,
C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e (0,1) por dois métodos:
(a) diretamente,
(b) utilizando o Teorema de Green.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} x y\,dx + x^{2}\,dy,
onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1), por dois métodos: (a) diretamente (parametrizando cada lado) e (b) usando o Teorema de Green.
Informações dadas e convenções que vou usar:
  • A função que aparece na integral é P(x,y)=x y multiplicando dx e Q(x,y)=x^{2} multiplicando dy.
  • A curva C é o triângulo com vértices (0,0)\to(1,0)\to(0,1)\to(0,0). Vou assumir a orientação positiva (contra-horária), que é o sentido usual quando se aplica o Teorema de Green.
  • Vou dividir C em três segmentos: C_1 de (0,0) a (1,0), C_2 de (1,0) a (0,1) (a hipotenusa), e C_3 de (0,1) a (0,0).

Passo 2

Explicação didática do método direto (parametrização de cada lado) e da fórmula a usar:
  • Se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], então
\int_{C} P\,dx+Q\,dy = \int_{a}^{b} \bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
  • Para um segmento entre pontos (x_0,y_0) e (x_1,y_1) uma parametrização prática é
x(t)=x_0+(x_1-x_0)t,\qquad y(t)=y_0+(y_1-y_0)t,\qquad t\in[0,1],
então dx = (x_1-x_0)\,dt e dy=(y_1-y_0)\,dt.
Vou aplicar isso a cada segmento C_1,C_2,C_3.

Passo 3

Cálculo na aresta C_1 de (0,0) até (1,0).
  • Parametrização: x(t)=t,\;y(t)=0,\;t\in[0,1].
  • Derivadas: x'(t)=1,\;y'(t)=0.
  • Avaliando o integrando:
P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t) = (x y)\big|_{(t,0)}\cdot 1 + (x^{2})\big|_{(t,0)}\cdot 0 = t\cdot 0 + t^{2}\cdot 0 = 0.
  • Portanto
\int_{C_1} x y\,dx + x^{2}\,dy = \int_{0}^{1} 0\,dt = 0.

Passo 4

Cálculo na aresta C_2 da hipotenusa, de (1,0) até (0,1).
  • Parametrização linear: escolha t\in[0,1] e
x(t)=1-t,\qquad y(t)=t.
Assim x(0)=1,y(0)=0 e x(1)=0,y(1)=1.
  • Derivadas: x'(t)=-1,\;y'(t)=1.
  • Avaliando P e Q ao longo da curva:
P(x(t),y(t))=x(t)y(t)=(1-t)t,\qquad Q(x(t),y(t))=x(t)^2=(1-t)^2.
  • O integrando na fórmula paramétrica é
(1-t)t\cdot x'(t) + (1-t)^2\cdot y'(t) = (1-t)t\cdot(-1) + (1-t)^2\cdot 1.
  • Simplificar o integrando passo a passo:
-(1-t)t + (1-t)^2 = -(t - t^2) + (1 - 2t + t^2) = 1 - 3t + 2t^2.
  • Integrar de 0 a 1:
\int_{C_2} x y\,dx + x^{2}\,dy = \int_{0}^{1} \bigl(1 - 3t + 2t^2\bigr)\,dt.
Calcule a primitiva:
\int_{0}^{1} 1\,dt = 1,\qquad \int_{0}^{1} 3t\,dt = \tfrac{3}{2},\qquad \int_{0}^{1} 2t^2\,dt = \tfrac{2}{3}.
Então
\int_{0}^{1} \bigl(1 - 3t + 2t^2\bigr)\,dt = 1 - \tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{3} = \tfrac{6 - 9 + 4}{6} = \tfrac{1}{6}.
Portanto \displaystyle \int_{C_2} x y\,dx + x^{2}\,dy = \tfrac{1}{6}.

Passo 5

Cálculo na aresta C_3 de (0,1) até (0,0).
  • Parametrização: x(t)=0,\;y(t)=1-t,\;t\in[0,1] (ou diretamente y vai de 1 a 0). Aqui x'(t)=0,\;y'(t)=-1.
  • Avaliando o integrando:
P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t) = (0\cdot(1-t))\cdot 0 + (0^2)\cdot(-1) = 0.
  • Logo
\int_{C_3} x y\,dx + x^{2}\,dy = \int_{0}^{1} 0\,dt = 0.

Passo 6

Somando as contribuições das três arestas (método direto):
\oint_{C} x y\,dx + x^{2}\,dy = \int_{C_1} + \int_{C_2} + \int_{C_3} = 0 + \tfrac{1}{6} + 0 = \tfrac{1}{6}.

Passo 7

Explicação didática do Teorema de Green e como aplicá-lo:
  • O Teorema de Green (caso plano) afirma que, para uma região D simplesmente conexa com fronteira C orientada positivamente,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
  • Aqui P(x,y)=x y e Q(x,y)=x^{2}. Calculam-se as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y\bigr)=x.
  • Assim o integrando do duplo é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 2x - x = x.

Passo 8

Calcular a integral dupla sobre a região triangular D.
  • A região D é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1). Em coordenadas, pode ser descrita por
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1-x\}.
  • Pelo Teorema de Green:
\oint_{C} x y\,dx + x^{2}\,dy = \iint_{D} x\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} x\,dy\,dx.
  • Integrando em y primeiro:
\int_{y=0}^{1-x} x\,dy = x\bigl(1-x\bigr).
  • Agora integrar em x:
\int_{0}^{1} x(1-x)\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{1}{2}x^{2} - \tfrac{1}{3}x^{3}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}.

Passo 9

Conclusão e comparação dos métodos:
  • Pelo método direto (parametrização de cada lado) obteve-se \tfrac{1}{6}.
  • Pelo Teorema de Green (integral dupla) obteve-se também \tfrac{1}{6}.
  • Os dois métodos concordam, como deve acontecer se a orientação escolhida foi a positiva (contra-horária).

Resposta

\tfrac{1}{6}

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