Questão 4: Calcule \frac{d}{d x} \int_{1}^{x^{2}} \frac{1}{3+t^{2}} d t.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a derivada em relação a x da integral
\int_{1}^{x^{2}} \frac{1}{3+t^{2}}\,dt.
Informações fornecidas:
  • O integrando é \displaystyle \frac{1}{3+t^{2}}.
  • O limite inferior é a constante 1.
  • O limite superior é a função de x, x^{2}.
  • A derivada pedida é \displaystyle \frac{d}{dx} dessa integral.

Passo 2

Conceito importante (Teorema Fundamental do Cálculo, versão usada aqui): se definimos
F(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt,
com f contínua, então
F'(u)=f(u).
Explicação curta e intuitiva: a integral acumulada até u varia com u à taxa do valor instantâneo do integrando em u. Antes de aplicar, verificamos que \displaystyle \frac{1}{3+t^{2}} é contínua para todo t (porque 3+t^{2}>0 sempre), logo podemos aplicar esse teorema.

Passo 3

Regra da cadeia (para composições): se H(x)=F(g(x)), então
H'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x).
Interpretação: a variação de H quando x muda vem da variação de F quando seu argumento g(x) muda, multiplicada pela taxa de variação de g(x).

Passo 4

Aplicando os dois resultados ao nosso problema:
Defina
F(u)=\int_{1}^{u} \frac{1}{3+t^{2}}\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
F'(u)=\frac{1}{3+u^{2}}.
A integral do enunciado é F(x^{2}). Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}F(x^{2})=F'(x^{2})\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}).

Passo 5

Substituímos F'(x^{2}) e calculamos \dfrac{d}{dx}(x^{2}):
F'(x^{2})=\frac{1}{3+(x^{2})^{2}}=\frac{1}{3+x^{4}}
e
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Multiplicando,
\frac{d}{dx}\int_{1}^{x^{2}} \frac{1}{3+t^{2}}\,dt = \frac{1}{3+x^{4}}\cdot 2x = \frac{2x}{3+x^{4}}.

Passo 6

Pequena verificação por intuição: se o limite superior fosse x (em vez de x^{2}), a derivada seria simplesmente \dfrac{1}{3+x^{2}}. Como o limite superior é x^{2}, a regra da cadeia adiciona o fator 2x. Isso bate com o resultado acima.

Resposta

\displaystyle \frac{2x}{3+x^{4}}

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