Questão 4: Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a derivada em relação a
da integral
Informações fornecidas:
- O integrando é
. - O limite inferior é a constante
. - O limite superior é a função de
, . - A derivada pedida é
dessa integral.
Passo 2
Conceito importante (Teorema Fundamental do Cálculo, versão usada aqui): se definimos
com
contínua, então
Explicação curta e intuitiva: a integral acumulada até
varia com
à taxa do valor instantâneo do integrando em
. Antes de aplicar, verificamos que
é contínua para todo
(porque
sempre), logo podemos aplicar esse teorema.
Passo 3
Regra da cadeia (para composições): se
, então
Interpretação: a variação de
quando
muda vem da variação de
quando seu argumento
muda, multiplicada pela taxa de variação de
.
Passo 4
Aplicando os dois resultados ao nosso problema:
Defina
Defina
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
A integral do enunciado é
. Usando a regra da cadeia,
Passo 5
Substituímos
e calculamos
:
e
Multiplicando,
Passo 6
Pequena verificação por intuição: se o limite superior fosse
(em vez de
), a derivada seria simplesmente
. Como o limite superior é
, a regra da cadeia adiciona o fator
. Isso bate com o resultado acima.