Questão 1: Calcule as integrais (definidas e indefinidas) abaixo: \int_{-1}^{1}\left|x^{3}\right| d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a(s) integral(is) pedida(s): \displaystyle \int_{-1}^{1}\left|x^{3}\right|\,dx.
Informações dadas: o integrando é \left|x^{3}\right| e os limites da integral definida são -1 e 1. Além disso, como foi solicitado “integrais (definidas e indefinidas)”, também forneceremos uma primitiva (integral indefinida) de \left|x^{3}\right|.
Passo 2
Vamos entender o integrando. Para qualquer x vale
\left|x^{3}\right| = |x|^{3}.
Isto porque o valor absoluto de uma potência é a potência do valor absoluto. Agora escrevemos isso de forma peça‑wise (por partes), usando que |x| = x se x\ge 0 e |x| = -x se x<0:
Relembrando a regra básica de integração que vamos usar: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n=3, então \int x^{3}\,dx = \dfrac{x^{4}}{4}+C. Também precisamos integrar -x^{3}: pela linearidade \int -x^{3}\,dx = -\int x^{3}\,dx = -\dfrac{x^{4}}{4}+C.
Passo 4
Com isso, uma primitiva (integral indefinida) de \left|x^{3}\right|\) é a função peça‑wise
\[F(x)= \begin{cases} -\,\dfrac{x^{4}}{4}+C, & x<0,\\[6pt] \phantom{-}\dfrac{x^{4}}{4}+C, & x\ge 0, \end{cases}
onde C\] é uma constante real. Note que em \(x=0 ambas as expressões valem 0+C, então F é contínua em 0.]
Passo 5
Agora para a integral definida \displaystyle \int_{-1}^{1}\left|x^{3}\right|\,dx podemos usar uma propriedade que facilita muito: a função \left|x^{3}\right| é uma função par (even), porque
Como a integral de 0 a 1 vale \dfrac{1}{4}, pela simetria a integral de -1 a 1 vale duas vezes isso. (Como checagem alternativa, poderíamos dividir a integral em \int_{-1}^{0} -x^{3}\,dx + \int_{0}^{1} x^{3}\,dx e obter \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}.)