Questão 1: Calcule as integrais (definidas e indefinidas) abaixo:
\int_{-1}^{1}\left|x^{3}\right| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a(s) integral(is) pedida(s):
\displaystyle \int_{-1}^{1}\left|x^{3}\right|\,dx.
Informações dadas: o integrando é \left|x^{3}\right| e os limites da integral definida são -1 e 1. Além disso, como foi solicitado “integrais (definidas e indefinidas)”, também forneceremos uma primitiva (integral indefinida) de \left|x^{3}\right|.

Passo 2

Vamos entender o integrando. Para qualquer x vale
\left|x^{3}\right| = |x|^{3}.
Isto porque o valor absoluto de uma potência é a potência do valor absoluto. Agora escrevemos isso de forma peça‑wise (por partes), usando que |x| = x se x\ge 0 e |x| = -x se x<0:
\left|x^{3}\right| = \begin{cases} x^{3}, & x\ge 0,\\[4pt] -\,x^{3}, & x<0. \end{cases}]

Passo 3

Relembrando a regra básica de integração que vamos usar: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n=3, então \int x^{3}\,dx = \dfrac{x^{4}}{4}+C. Também precisamos integrar -x^{3}: pela linearidade \int -x^{3}\,dx = -\int x^{3}\,dx = -\dfrac{x^{4}}{4}+C.

Passo 4

Com isso, uma primitiva (integral indefinida) de \left|x^{3}\right|\) é a função peça‑wise \[F(x)= \begin{cases} -\,\dfrac{x^{4}}{4}+C, & x<0,\\[6pt] \phantom{-}\dfrac{x^{4}}{4}+C, & x\ge 0, \end{cases}
onde C\] é uma constante real. Note que em \(x=0 ambas as expressões valem 0+C, então F é contínua em 0.]

Passo 5

Agora para a integral definida \displaystyle \int_{-1}^{1}\left|x^{3}\right|\,dx podemos usar uma propriedade que facilita muito: a função \left|x^{3}\right| é uma função par (even), porque
\left|(-x)^{3}\right| = \left|-x^{3}\right| = |x^{3}|.
Para qualquer função par f integrável temos
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Aqui a=1. Usar essa propriedade costuma ser o caminho mais rápido na prova.

Passo 6

Aplicando a simetria (função par) obtemos
\int_{-1}^{1}\left|x^{3}\right|\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{3}\,dx,
pois para x\ge0 temos \left|x^{3}\right|=x^{3}.

Passo 7

Calculamos a integral de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1^{4}}{4} - \dfrac{0^{4}}{4} = \dfrac{1}{4}.

Passo 8

Como a integral de 0 a 1 vale \dfrac{1}{4}, pela simetria a integral de -1 a 1 vale duas vezes isso. (Como checagem alternativa, poderíamos dividir a integral em \int_{-1}^{0} -x^{3}\,dx + \int_{0}^{1} x^{3}\,dx e obter \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}.)

Resposta

F(x)= \begin{cases} -\,\dfrac{x^{4}}{4}+C, & x<0,\\[6pt] \phantom{-}\dfrac{x^{4}}{4}+C, & x\ge 0, \end{cases}
\displaystyle \int_{-1}^{1}\left|x^{3}\right|\,dx = \dfrac{1}{2}.]

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