Questão 3: Encontre a área da região limitada pelo gráfico das funções
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos das funções
e
. Informações dadas: as duas curvas são as funções explicitamente
e
. A tarefa é encontrar a área da região que fica entre esses dois gráficos (a região limitada por ambos).
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas — são as abscissas que delimitam a região. As interseções satisfazem
Para resolver isso, faça a substituição auxiliar
. A equação fica
Colocando tudo num lado:
As soluções são
(com multiplicidade 2) e
. Voltando a
, obtemos os pontos de interseção
Passo 3
Agora precisamos saber qual curva está acima (maior
) entre
e
, para integrar a diferença correta. Use novamente
. Para
temos
. Compare
e
:
Como
e
para
, temos
. Portanto, para
,
Isto mostra que a função
é a curva superior (topo) e
é a curva inferior (fundo) no intervalo entre as interseções.
Passo 4
Fórmula da área entre curvas: se duas curvas
(topo) e
(fundo) se intersectam em
e
e
em
, então a área da região entre elas é
Esta fórmula vem de aproximar a região por tiras verticais de largura
; a área de cada tira é aproximadamente
e integrar soma essas áreas.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso, com
,
,
e
, temos
Para facilitar, fazemos a substituição
. Quando
temos
; quando
temos
. Além disso
. A integral passa a ser
Passo 6
Agora calcule a integral usando a regra do poder: para
,
Aplicando termo a termo,
Avalie nos limites:
Calculando a diferença:
Passo 7
Breve verificação: o valor é positivo e pequeno, coerente com a região entre duas curvas que separam por uma pequena área entre
e
. A integração foi feita sem truques além da substituição linear e da regra do poder.