Questão 3: Encontre a área da região limitada pelo gráfico das funções y=(x-1)^{3} e y=(x-1)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos das funções y=(x-1)^{3} e y=(x-1)^{2}. Informações dadas: as duas curvas são as funções explicitamente y=(x-1)^{3} e y=(x-1)^{2}. A tarefa é encontrar a área da região que fica entre esses dois gráficos (a região limitada por ambos).

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas — são as abscissas que delimitam a região. As interseções satisfazem
(x-1)^{3}=(x-1)^{2}.
Para resolver isso, faça a substituição auxiliar \;u=x-1\;. A equação fica
u^{3}=u^{2}.
Colocando tudo num lado:
u^{3}-u^{2}=0\quad\Rightarrow\quad u^{2}(u-1)=0.
As soluções são u=0 (com multiplicidade 2) e u=1. Voltando a x, obtemos os pontos de interseção
x=1\quad\text{e}\quad x=2.

Passo 3

Agora precisamos saber qual curva está acima (maior y) entre x=1 e x=2, para integrar a diferença correta. Use novamente u=x-1. Para x\in(1,2) temos u\in(0,1). Compare u^{2} e u^{3}:
u^{2}-u^{3}=u^{2}(1-u).
Como u^{2}\ge0 e 1-u>0 para u\in(0,1), temos u^{2}-u^{3}>0. Portanto, para x\in(1,2),
(x-1)^{2}>(x-1)^{3}.
Isto mostra que a função y=(x-1)^{2} é a curva superior (topo) e y=(x-1)^{3} é a curva inferior (fundo) no intervalo entre as interseções.

Passo 4

Fórmula da área entre curvas: se duas curvas y=f(x) (topo) e y=g(x) (fundo) se intersectam em x=a e x=b e f(x)\ge g(x) em [a,b], então a área da região entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Esta fórmula vem de aproximar a região por tiras verticais de largura dx; a área de cada tira é aproximadamente (f(x)-g(x))\,dx e integrar soma essas áreas.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso, com a=1, b=2, f(x)=(x-1)^{2} e g(x)=(x-1)^{3}, temos
\text{Área}=\int_{1}^{2}\bigl((x-1)^{2}-(x-1)^{3}\bigr)\,dx.Á
Para facilitar, fazemos a substituição \;u=x-1\;. Quando x=1 temos u=0; quando x=2 temos u=1. Além disso du=dx. A integral passa a ser
\int_{0}^{1}\bigl(u^{2}-u^{3}\bigr)\,du.

Passo 6

Agora calcule a integral usando a regra do poder: para n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando termo a termo,
\int_{0}^{1}\bigl(u^{2}-u^{3}\bigr)\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{1}.
Avalie nos limites:
\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{4}}{4}\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{4}}{4}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}.
Calculando a diferença:
\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}.

Passo 7

Breve verificação: o valor é positivo e pequeno, coerente com a região entre duas curvas que separam por uma pequena área entre x=1 e x=2. A integração foi feita sem truques além da substituição linear e da regra do poder.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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