Questão 2- Calcule \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} nos casos:
f(x, y)=e^{\operatorname{sen} x^{3} y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=e^{\operatorname{sen} x^{3} y}.
Vou interpretar a notação como \operatorname{sen}(x^{3}y), ou seja, o seno de x^{3}y.
Informação dada:
  • A função é uma composição: primeiro forma-se a expressão u(x,y)=\operatorname{sen}(x^{3}y) e depois aplica-se a exponencial e^{u}.
  • Precisamos as duas derivadas parciais em relação a x e a y.

Passo 2

O que é derivada parcial e qual regra vamos usar (numa linguagem leve).
A derivada parcial de f em relação a x, \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f muda quando se varia x mantendo y fixo. De modo análogo, \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a mudança quando se varia y mantendo x fixo.
Quando f é composição de funções (aqui f(x,y)=\exp(u(x,y)) com u(x,y)=\operatorname{sen}(x^{3}y)), usamos a regra da cadeia para derivadas parciais: se f(x,y)=F(u(x,y)), então
\dfrac{\partial f}{\partial x}=F'(u(x,y))\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}=F'(u(x,y))\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}.
Aqui F(u)=e^{u}, então F'(u)=e^{u}. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Derivar a parte externa: a exponencial.
Se F(u)=e^{u}, então F'(u)=e^{u}. Aplicando ao nosso u(x,y)=\operatorname{sen}(x^{3}y) obtemos o fator externo comum:
F'(u(x,y))=e^{\operatorname{sen}(x^{3}y)}.
Esse fator aparece em ambas as derivadas parciais.

Passo 4

Derivar a parte intermediária: o seno.
Se u(x,y)=\operatorname{sen}(v(x,y)) com v(x,y)=x^{3}y, a derivada de \operatorname{sen} em relação ao seu argumento é o cosseno do argumento:
\frac{d}{d v}\operatorname{sen}(v)=\cos(v).
Pela regra da cadeia interna, ao derivar \operatorname{sen}(x^{3}y) em relação a x ou y vamos multiplicar por \cos(x^{3}y) e depois pela derivada de v(x,y)=x^{3}y.

Passo 5

Derivar o argumento v(x,y)=x^{3}y em relação a x (tratando y como constante).
Vemos v(x,y)=x^{3}y como produto de x^{3} por y, mas como y é constante ao derivar em relação a x podemos simplesmente usar a regra da potência multiplicada pela constante:
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y\bigr)=y\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{3})=y\cdot 3x^{2}=3x^{2}y.
Assim, a derivada de v em relação a x é 3x^{2}y.

Passo 6

Montar \dfrac{\partial f}{\partial x} usando a regra da cadeia completa.
Juntando os fatores do Passo 3 (exponencial), Passo 4 (cosseno do argumento) e Passo 5 (derivada de v em relação a x), obtemos:
\dfrac{\partial f}{\partial x} = e^{\operatorname{sen}(x^{3}y)}\cdot \cos(x^{3}y)\cdot 3x^{2}y.
É útil, por clareza, agrupar os fatores desta forma. Em problemas de prova, escrever na forma fatorada ajuda a evitar erros de sinais e a ver a estrutura da cadeia.

Passo 7

Derivar o argumento v(x,y)=x^{3}y em relação a y (tratando x como constante).
Agora v é produto de x^{3} (constante ao derivar por y) por y, então:
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y\bigr)=x^{3}\cdot \dfrac{d}{dy}(y)=x^{3}.

Passo 8

Montar \dfrac{\partial f}{\partial y} usando novamente a regra da cadeia.
Com os fatores: exponencial e^{\operatorname{sen}(x^{3}y)}, derivada do seno que dá \cos(x^{3}y), e derivada do argumento em relação a y que é x^{3}, obtemos:
\dfrac{\partial f}{\partial y} = e^{\operatorname{sen}(x^{3}y)}\cdot \cos(x^{3}y)\cdot x^{3}.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{\operatorname{sen}(x^{3}y)}\cos(x^{3}y)\,3x^{2}y
\dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{\operatorname{sen}(x^{3}y)}\cos(x^{3}y)\,x^{3}

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