Questão 2- Calcule
nos casos:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função dada. A função fornecida é
Vou interpretar a notação como
, ou seja, o seno de
.
Informação dada:
Informação dada:
- A função é uma composição: primeiro forma-se a expressão
e depois aplica-se a exponencial . - Precisamos as duas derivadas parciais em relação a
e a .
Passo 2
O que é derivada parcial e qual regra vamos usar (numa linguagem leve).
A derivada parcial de em relação a
,
, mede como
muda quando se varia
mantendo
fixo. De modo análogo,
mede a mudança quando se varia
mantendo
fixo.
A derivada parcial de
Quando
é composição de funções (aqui
com
), usamos a regra da cadeia para derivadas parciais: se
, então
Aqui
, então
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Derivar a parte externa: a exponencial.
Se , então
. Aplicando ao nosso
obtemos o fator externo comum:
Se
Esse fator aparece em ambas as derivadas parciais.
Passo 4
Derivar a parte intermediária: o seno.
Se com
, a derivada de
em relação ao seu argumento é o cosseno do argumento:
Se
Pela regra da cadeia interna, ao derivar
em relação a
ou
vamos multiplicar por
e depois pela derivada de
.
Passo 5
Derivar o argumento
em relação a
(tratando
como constante).
Vemos como produto de
por
, mas como
é constante ao derivar em relação a
podemos simplesmente usar a regra da potência multiplicada pela constante:
Vemos
Assim, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Montar
usando a regra da cadeia completa.
Juntando os fatores do Passo 3 (exponencial), Passo 4 (cosseno do argumento) e Passo 5 (derivada de em relação a
), obtemos:
Juntando os fatores do Passo 3 (exponencial), Passo 4 (cosseno do argumento) e Passo 5 (derivada de
É útil, por clareza, agrupar os fatores desta forma. Em problemas de prova, escrever na forma fatorada ajuda a evitar erros de sinais e a ver a estrutura da cadeia.
Passo 7
Derivar o argumento
em relação a
(tratando
como constante).
Agora é produto de
(constante ao derivar por
) por
, então:
Agora
Passo 8
Montar
usando novamente a regra da cadeia.
Com os fatores: exponencial , derivada do seno que dá
, e derivada do argumento em relação a
que é
, obtemos:
Com os fatores: exponencial