Questão 2- Calcule \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} nos casos:
f(x, y)=\left(x+4 x^{2} y-31\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} da função
f(x,y)=\bigl(x+4x^{2}y-31\bigr)^{5}.
Informações dadas:
  • A função é uma composição de uma função externa do tipo potência (\cdot)^{5} aplicada a uma expressão interna x+4x^{2}y-31.
  • Não há pontos numéricos específicos pedidos — quer-se as expressões gerais das derivadas parciais.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia para derivadas parciais. Explicando bem devagar:
  • Se tivermos uma função composta f(x,y)=g(h(x,y)), então a derivada parcial de f em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}=g'\bigl(h(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial h}{\partial x}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}=g'\bigl(h(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial h}{\partial y}.
Aqui:
  • h(x,y)=x+4x^{2}y-31 é a função interna.
  • g(u)=u^{5} com u=h(x,y) é a função externa.
    Também precisamos da derivada de g(u)=u^{5}, que é g'(u)=5u^{4}. Tudo isso é só aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais da função interna h(x,y)=x+4x^{2}y-31.
  • Derivada parcial de h em relação a x: tratar y como constante.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(4x^{2}y)=4\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})\cdot y=4\cdot(2x)\cdot y=8xy.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-31)=0.
    • Somando:
    \frac{\partial h}{\partial x}=1+8xy.
  • Derivada parcial de h em relação a y: tratar x como constante.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(4x^{2}y)=4x^{2}\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y)=4x^{2}.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-31)=0.
    • Logo:
    \frac{\partial h}{\partial y}=4x^{2}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Temos g'(u)=5u^{4} e u=h(x,y)=x+4x^{2}y-31.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=g'\bigl(h(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial h}{\partial x} =5\bigl(h(x,y)\bigr)^{4}\cdot\bigl(1+8xy\bigr).
Substituindo h(x,y) explicitamente:
\frac{\partial f}{\partial x}=5\bigl(x+4x^{2}y-31\bigr)^{4}\bigl(1+8xy\bigr).

Passo 5

Explicando a simplificação e interpretação de \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • A forma fatorada acima é prática e suficiente para prova: multiplicar 5\bigl(x+4x^{2}y-31\bigr)^{4} por (1+8xy).
  • Se quiser expandir daria uma expressão longa; geralmente em provas prefere-se a forma fatorada porque mostra claramente a aplicação da regra da cadeia.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Usando g'(u)=5u^{4} e \dfrac{\partial h}{\partial y}=4x^{2} (do Passo 3):
\frac{\partial f}{\partial y}=5\bigl(h(x,y)\bigr)^{4}\cdot 4x^{2}.
  • Simplificando o coeficiente:
\frac{\partial f}{\partial y}=20x^{2}\bigl(x+4x^{2}y-31\bigr)^{4}.

Passo 7

Pequena verificação (para ajudar a confiar no resultado): escolher um ponto simples, por exemplo (x,y)=(0,0), e ver o que as fórmulas dão.
  • h(0,0)=0+0-31=-31.
  • Pela fórmula de \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=5(-31)^{4}\cdot(1+0)=5\cdot(-31)^{4}.
  • Pela fórmula de \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=20\cdot 0^{2}\cdot(-31)^{4}=0.
Isso faz sentido: na expressão original, quando x=0 o termo que multiplica y some, então a variação de f com y naquele ponto é nula — a fórmula confirma isso.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=5\bigl(x+4x^{2}y-31\bigr)^{4}\bigl(1+8xy\bigr)
\dfrac{\partial f}{\partial y}=20x^{2}\bigl(x+4x^{2}y-31\bigr)^{4}

Exercícios relacionados