Questão 2- Calcule
nos casos:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função
Informações dadas:
- A função é uma composição de uma função externa do tipo potência
aplicada a uma expressão interna . - Não há pontos numéricos específicos pedidos — quer-se as expressões gerais das derivadas parciais.
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra da cadeia para derivadas parciais. Explicando bem devagar:
- Se tivermos uma função composta
, então a derivada parcial de em relação a é
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Aqui:
-
é a função interna. -
com é a função externa.
Também precisamos da derivada de, que é . Tudo isso é só aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais da função interna
.
- Derivada parcial de
em relação a : tratar como constante. -
. -
. -
. - Somando:
-
- Derivada parcial de
em relação a : tratar como constante. -
. -
. -
. - Logo:
-
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para
.
- Temos
e . - Pela regra da cadeia:
Substituindo
explicitamente:
Passo 5
Explicando a simplificação e interpretação de
:
- A forma fatorada acima é prática e suficiente para prova: multiplicar
por . - Se quiser expandir daria uma expressão longa; geralmente em provas prefere-se a forma fatorada porque mostra claramente a aplicação da regra da cadeia.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para
.
- Usando
e (do Passo 3):
- Simplificando o coeficiente:
Passo 7
Pequena verificação (para ajudar a confiar no resultado): escolher um ponto simples, por exemplo
, e ver o que as fórmulas dão.
-
. - Pela fórmula de
:
- Pela fórmula de
:
Isso faz sentido: na expressão original, quando
o termo que multiplica
some, então a variação de
com
naquele ponto é nula — a fórmula confirma isso.