Questão: Calcule
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde a função é
Informações dadas:
- A função
depende de três variáveis , e . - O ponto onde queremos o valor da derivada parcial é
. - Precisamos da derivada parcial em relação a
(ou seja, variar mantendo e fixos).
Passo 2
Entendendo o que é uma derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
em um ponto
é, pela definição,
Na prática de prova, usamos regras de diferenciação tratando
e
como constantes. Ou seja, diferenciar em
como se fosse uma função de uma variável, com os outros símbolos fixos.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar:
- Derivada da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Derivada de uma constante (em relação a
): é zero. - Regra da cadeia para exponencial: se temos
, então . - Derivada de uma função linear em
: se com constante (aqui pode depender de fixo), então .
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso
.
Passo 4
Calcular simbolicamente
.
Primeiro termo:
.
- Trate
como constante. A função interior é . - Pela regra da cadeia,
- Agora
porque é constante e é constante em relação a .
Logo o derivado do primeiro termo é
Segundo termo:
.
- Aqui
e são considerados constantes ao derivar em . Então esse termo não depende de e sua derivada é .
Somando os resultados:
Passo 5
Avaliar em
.
- Calcule
com : . - Calcule o expoente
com e : . - Então
.
Substituindo na fórmula encontrada:
Observação: o valor de
(aqui
) não influenciou porque o segundo termo da função não depende de
.
Passo 6
Dica para a prova: ao calcular derivadas parciais, identifique os termos que dependem da variável que você vai derivar e trate as outras como constantes. Para exponenciais compostas, aplique a regra da cadeia: deriva-se o exponencial mantendo-o e multiplica-se pela derivada do expoente.
Você já chegou lá — é só prática repetir esse passo a passo rápido: identificar dependência, aplicar soma/constante/regra da cadeia, e avaliar no ponto.