Questão: Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(1,0, \pi) onde f(x, y, z)=e^{1-x \cos y}+z e^{y^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{\partial f}{\partial x}(1,0,\pi), onde a função é
f(x,y,z)=e^{1-x\cos y}+z\,e^{y^{2}-1}.
Informações dadas:
  • A função f depende de três variáveis x, y e z.
  • O ponto onde queremos o valor da derivada parcial é (x,y,z)=(1,0,\pi).
  • Precisamos da derivada parcial em relação a x (ou seja, variar x mantendo y e z fixos).

Passo 2

Entendendo o que é uma derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x_0,y_0,z_0) é, pela definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0,z_0)-f(x_0,y_0,z_0)}{h}.
Na prática de prova, usamos regras de diferenciação tratando y e z como constantes. Ou seja, diferenciar em x como se fosse uma função de uma variável, com os outros símbolos fixos.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar:
  • Derivada da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Derivada de uma constante (em relação a x): é zero.
  • Regra da cadeia para exponencial: se temos g(x)=e^{u(x)}, então g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • Derivada de uma função linear em x: se u(x)=a x + b com a constante (aqui a pode depender de y fixo), então u'(x)=a.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso f.

Passo 4

Calcular simbolicamente \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z).
Primeiro termo: e^{1-x\cos y}.
  • Trate y como constante. A função interior é u(x)=1-x\cos y.
  • Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x} e^{1-x\cos y}=e^{1-x\cos y}\cdot \frac{d}{dx}(1-x\cos y).
  • Agora \frac{d}{dx}(1-x\cos y)= -\cos y porque 1 é constante e \cos y é constante em relação a x.
    Logo o derivado do primeiro termo é
-\cos y \; e^{1-x\cos y}.
Segundo termo: z\,e^{y^{2}-1}.
  • Aqui z e y são considerados constantes ao derivar em x. Então esse termo não depende de x e sua derivada é 0.
Somando os resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = -\cos y \; e^{1-x\cos y}.

Passo 5

Avaliar em (x,y,z)=(1,0,\pi).
  • Calcule \cos y com y=0: \cos 0 = 1.
  • Calcule o expoente 1-x\cos y com x=1 e \cos y=1: 1-1\cdot 1=0.
  • Então e^{1-x\cos y}=e^{0}=1.
Substituindo na fórmula encontrada:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0,\pi) = -\cos 0 \cdot e^{0} = -1\cdot 1 = -1.
Observação: o valor de z (aqui \pi) não influenciou porque o segundo termo da função não depende de x.

Passo 6

Dica para a prova: ao calcular derivadas parciais, identifique os termos que dependem da variável que você vai derivar e trate as outras como constantes. Para exponenciais compostas, aplique a regra da cadeia: deriva-se o exponencial mantendo-o e multiplica-se pela derivada do expoente.
Você já chegou lá — é só prática repetir esse passo a passo rápido: identificar dependência, aplicar soma/constante/regra da cadeia, e avaliar no ponto.

Resposta

-1

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