Questāo:
a) Esboce a superfície 2 x-y^{2}-z^{2}+2 z-3=0.
b) Determine a equação da curva obtida pela interseção da superfície com o plano x=3.
c) Determine o comprimento da curva obtida no item b).

Passo 1

O enunciado dá a superfície
2x - y^{2} - z^{2} + 2z - 3 = 0
e pede três coisas:
  1. (a) Esboçar a superfície — ou seja, identificar que tipo de superfície é e onde fica (vértice, direção de abertura, forma das seções).
  2. (b) Determinar a equação da curva obtida pela interseção da superfície com o plano \,x=3.
  3. (c) Calcular o comprimento dessa curva do item (b).
Informações relevantes fornecidas: a equação explícita da superfície e o plano \,x=3. Não há outras figuras fornecidas.

Passo 2

Vamos manipular a equação dada para pô-la numa forma padrão que facilite a classificação. Para isso utilizamos a técnica de completar o quadrado em z.
A equação original é
2x - y^{2} - z^{2} + 2z - 3 = 0.
Agrupando os termos em z e completando o quadrado para z:
-z^{2} + 2z = -\bigl(z^{2} - 2z\bigr) = -\bigl((z-1)^{2} - 1\bigr).
Expliquei: para completar o quadrado em z^{2}-2z escrevemos (z-1)^{2} = z^{2}-2z+1, então z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.

Passo 3

Substituímos esse resultado na equação original:
2x - y^{2} -\bigl((z-1)^{2} - 1\bigr) - 3 = 0.
Simplificando os termos constantes:
2x - y^{2} - (z-1)^{2} + 1 - 3 = 0
2x - y^{2} - (z-1)^{2} - 2 = 0.
Isolando x:
2x = y^{2} + (z-1)^{2} + 2
x = \tfrac{1}{2}y^{2} + \tfrac{1}{2}(z-1)^{2} + 1.
Aqui expliquei o significado de cada termo: y^{2} e (z-1)^{2} são parcelas quadráticas positivas, multiplicadas por \tfrac{1}{2}, e há uma constante +1. Isto já dá a forma padrão de um paraboloide elíptico.

Passo 4

Interpretação geométrica (esboço didático):
  • A superfície tem a forma de um paraboloide elíptico porque x é uma soma de quadrados de y e de (z-1) com coeficientes positivos.
  • O vértice (ponto mínimo de x) ocorre quando y=0 e z-1=0, ou seja em (x,y,z) = (1,0,1).
  • A direção de abertura é ao longo do eixo positivo de x (porque x cresce quando |y| ou |z-1| aumentam).
  • Seções por planos paralelos a yz (ou seja, por planos x= constante) são elipses centradas em (y,z)=(0,1); seções por planos contendo o eixo x e uma das direções y ou z são parábolas.
Dica para esboçar: desenhe o ponto vértice (1,0,1) e mostre “copos” elípticos abrindo para a direita (direção de +x), com eixos no plano x= constante alinhados com y e z-1.

Passo 5

Agora fazemos o item (b): interseção com o plano \,x=3. Substituímos \,x=3 na forma que já obtivemos:
3 = \tfrac{1}{2}y^{2} + \tfrac{1}{2}(z-1)^{2} + 1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
2 = \tfrac{1}{2}\bigl(y^{2} + (z-1)^{2}\bigr).
Multiplicando ambos os lados por 2:
4 = y^{2} + (z-1)^{2}.
Logo a curva de interseção é a circunferência no plano x=3 com equação
y^{2} + (z-1)^{2} = 4.
Expliquei: isso é o círculo de centro (y,z)=(0,1) e raio 2, todo isso contido no plano \,x=3.

Passo 6

Para calcular o comprimento dessa curva (item (c)) podemos parametrizá-la e usar a fórmula do comprimento de arco. Uma parametrização natural do círculo é:
\begin{cases} x(t) = 3,\\[4pt] y(t) = 2\cos t,\\[4pt] z(t) = 1 + 2\sin t, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi].
Explicação: escolhi y=2\cos t e z-1=2\sin t porque satisfazem y^{2}+(z-1)^{2}=4.]

Passo 7

Calculamos a derivada vetor \mathbf{r}'(t) e o seu módulo:
\mathbf{r}'(t) = \bigl(0,\,-2\sin t,\,2\cos t\bigr).
O módulo é
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert = \sqrt{0^{2} + (-2\sin t)^{2} + (2\cos t)^{2}} = \sqrt{4\sin^{2}t + 4\cos^{2}t} = \sqrt{4(\sin^{2}t+\cos^{2}t)} = \sqrt{4} = 2.
Expliquei: usamos a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.

Passo 8

O comprimento L da curva é a integral do módulo da derivada no intervalo 0\le t\le 2\pi:
L = \int_{0}^{2\pi} \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert \, dt = \int_{0}^{2\pi} 2 \, dt = 2\cdot 2\pi = 4\pi.
Comentário: isso coincide com a fórmula clássica do comprimento de uma circunferência de raio r, L=2\pi r, aqui com r=2 dando L=4\pi.

Resposta

(a) A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (1,0,1) que abre na direção positiva de x; em forma explícita x=\tfrac{1}{2}y^{2}+\tfrac{1}{2}(z-1)^{2}+1.\n
(b) Interseção com x=3: \;y^{2}+(z-1)^{2}=4 (círculo de centro (0,1) e raio 2 no plano x=3).\n
(c) Comprimento da curva: \;4\pi.

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