Questāo:
a) Esboce a superfície 2 x-y^{2}-z^{2}+2 z-3=0.
b) Determine a equação da curva obtida pela interseção da superfície com o plano x=3.
c) Determine o comprimento da curva obtida no item b).
Passo 1
O enunciado dá a superfície
2x - y^{2} - z^{2} + 2z - 3 = 0
e pede três coisas:
(a) Esboçar a superfície — ou seja, identificar que tipo de superfície é e onde fica (vértice, direção de abertura, forma das seções).
(b) Determinar a equação da curva obtida pela interseção da superfície com o plano \,x=3.
(c) Calcular o comprimento dessa curva do item (b).
Informações relevantes fornecidas: a equação explícita da superfície e o plano \,x=3. Não há outras figuras fornecidas.
Passo 2
Vamos manipular a equação dada para pô-la numa forma padrão que facilite a classificação. Para isso utilizamos a técnica de completar o quadrado em z.
A equação original é
2x - y^{2} - z^{2} + 2z - 3 = 0.
Agrupando os termos em z e completando o quadrado para z:
Expliquei: para completar o quadrado em z^{2}-2z escrevemos (z-1)^{2} = z^{2}-2z+1, então z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.
Passo 3
Substituímos esse resultado na equação original:
2x - y^{2} -\bigl((z-1)^{2} - 1\bigr) - 3 = 0.
Simplificando os termos constantes:
2x - y^{2} - (z-1)^{2} + 1 - 3 = 0
2x - y^{2} - (z-1)^{2} - 2 = 0.
Isolando x:
2x = y^{2} + (z-1)^{2} + 2
x = \tfrac{1}{2}y^{2} + \tfrac{1}{2}(z-1)^{2} + 1.
Aqui expliquei o significado de cada termo: y^{2} e (z-1)^{2} são parcelas quadráticas positivas, multiplicadas por \tfrac{1}{2}, e há uma constante +1. Isto já dá a forma padrão de um paraboloide elíptico.
Passo 4
Interpretação geométrica (esboço didático):
A superfície tem a forma de um paraboloide elíptico porque x é uma soma de quadrados de y e de (z-1) com coeficientes positivos.
O vértice (ponto mínimo de x) ocorre quando y=0 e z-1=0, ou seja em (x,y,z) = (1,0,1).
A direção de abertura é ao longo do eixo positivo de x (porque x cresce quando |y| ou |z-1| aumentam).
Seções por planos paralelos a yz (ou seja, por planos x= constante) são elipses centradas em (y,z)=(0,1); seções por planos contendo o eixo x e uma das direções y ou z são parábolas.
Dica para esboçar: desenhe o ponto vértice (1,0,1) e mostre “copos” elípticos abrindo para a direita (direção de +x), com eixos no plano x= constante alinhados com y e z-1.
Passo 5
Agora fazemos o item (b): interseção com o plano \,x=3. Substituímos \,x=3 na forma que já obtivemos:
Logo a curva de interseção é a circunferência no plano x=3 com equação
y^{2} + (z-1)^{2} = 4.
Expliquei: isso é o círculo de centro (y,z)=(0,1) e raio 2, todo isso contido no plano \,x=3.
Passo 6
Para calcular o comprimento dessa curva (item (c)) podemos parametrizá-la e usar a fórmula do comprimento de arco. Uma parametrização natural do círculo é:
Comentário: isso coincide com a fórmula clássica do comprimento de uma circunferência de raio r, L=2\pi r, aqui com r=2 dando L=4\pi.
Resposta
(a) A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (1,0,1) que abre na direção positiva de x; em forma explícita x=\tfrac{1}{2}y^{2}+\tfrac{1}{2}(z-1)^{2}+1.\n
(b) Interseção com x=3: \;y^{2}+(z-1)^{2}=4 (círculo de centro (0,1) e raio 2 no plano x=3).\n
(c) Comprimento da curva: \;4\pi.