Questão 3. (Vale 2.0). Seja f(x)=0 uma equação em que f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} é uma função contínua. Descreva o método do ponto fixo e apresente as hipóteses de convergência desse método.

Passo 1

O enunciado dá: a equação f(x)=0 com f:[a,b]\to\mathbb{R} contínua. Pede-se: descrever o método do ponto fixo e apresentar as hipóteses de convergência desse método.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma função f contínua definida no intervalo [a,b].
  • O objetivo é encontrar uma raiz de f, isto é, um x tal que f(x)=0.
    Nada mais foi fornecido (por ex., forma explícita de f ou uma transformação já dada). A resolução começa a seguir.

Passo 2

O que é “ponto fixo” e como transformar a equação em problema de ponto fixo.
Definição: um ponto x^* é um ponto fixo de uma função g se e somente se g(x^*)=x^*.
Para usar ponto fixo, reescrevemos a equação f(x)=0 de modo equivalente na forma
x = g(x)
ou seja, procuramos uma função g tal que as soluções de f(x)=0 sejam exatamente os pontos fixos de g. Um exemplo simples de transformação é
g(x)=x-\lambda f(x)
onde \lambda é um número real escolhido convenientemente. Note que, se x^* satisfaz f(x^*)=0 então g(x^*)=x^*. Então achar raiz de f passou a ser achar ponto fixo de g.

Passo 3

Descrição do algoritmo iterativo (como se aplica na prova).
Dado um g que representa a mesma solução via ponto fixo, o método iterativo é: escolher um chute inicial x_0 e definir recursivamente
x_{n+1}=g(x_n).
Repetimos até que os iterados se estabilizem (diferença entre iterações pequena) e então aceitamos o limite x^*=\lim_{n\to\infty}x_n como ponto fixo / raiz. Na prática, fazemos poucas iterações e verificamos convergência.

Passo 4

Teorema de convergência (Banach / do ponto fixo contrátil) — enunciado das hipóteses e consequência (versão para prova).
Hipóteses suficientes para convergência global no intervalo [a,b]:
  1. g leva o intervalo [a,b] em si mesmo, isto é,
g([a,b])\subseteq[a,b].
  1. g é um contração em [a,b]: existe uma constante k com 0\le k<1 tal que, para todo x,y\in[a,b],
|g(x)-g(y)|\le k|x-y|.
Conclusão: existe um único ponto fixo x^*\in[a,b] e, para qualquer x_0\in[a,b], a sequência definida por x_{n+1}=g(x_n) converge para x^*.
Explicação curta do porquê (esqueleto de prova): aplicar recursivamente a desigualdade do contração para obter |x_{n+1}-x_n|\le k^n|x_1-x_0|, o que mostra que (x_n) é de Cauchy e, por completude de \mathbb{R}, converge a algum limite x^*. Passando ao limite na relação x_{n+1}=g(x_n) obtém-se x^*=g(x^*). Unicidade vem do próprio fato de contração: se x^* e y^* fossem fixos, |x^*-y^*|=|g(x^*)-g(y^*)|\le k|x^*-y^*| implica x^*=y^*.

Passo 5

Critério prático usando derivada (como aplicar na prova sem complicação).
Se g for diferenciável em (a,b) e
M=\max_{x\in(a,b)}|g'(x)|
satisfez M<1, então pela média-valor temos, para todo x,y\in[a,b],
|g(x)-g(y)|\le M|x-y|,
ou seja g é uma contração com k=M. Então as hipóteses do passo anterior valem (desde que também tenhamos g([a,b])\subseteq[a,b]). Este critério é muito usado em provas: basta estimar |g'(x)| no intervalo e verificar que é menor que 1.

Passo 6

Taxa de convergência e estimativas de erro (útil na prova para justificar quantas iterações aproximam bem).
Se x^* é o ponto fixo e g é contração com constante k, então
|x_{n+1}-x^*|=|g(x_n)-g(x^*)|\le k|x_n-x^*|.
Iterando,
|x_n-x^*|\le k^n|x_0-x^*|.
Isto mostra convergência linear com razão k (erro reduz geometricamente). Outra estimativa prática, útil quando não conhecemos x^*, é
|x_n-x^*|\le \frac{k^n}{1-k}\,|x_1-x_0|.
Ambas são ferramentas que você pode citar na prova para quantificar erro.

Passo 7

Convergência local quando as hipóteses globais não são fáceis de satisfazer.
Se você não consegue garantir g([a,b])\subseteq[a,b] nem uma constante global k, basta verificar que g é diferenciável e que |g'(x^*)|<1. Pela continuidade de g' existe um pequeno vizinhança I de x^* onde \max_{I}|g'|<1; portanto, se escolher x_0 nessa vizinhança, a iteração converge para x^*. Isso é chamado de convergência local — muito comum em problemas reais.

Passo 8

Como escolher g na prática e comentário sobre métodos mais rápidos.
  • Uma escolha comum é g(x)=x-\lambda f(x). Então g'(x)=1-\lambda f'(x) e você escolhe \lambda (por exemplo \lambda pequeno, ou \lambda\approx 1/M se souber um limite para f') para tentar garantir |g'|\le k<1. Pequeno \lambda garante contração mas deixa convergência lenta.
  • O método de Newton é uma escolha especial g(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}. Ele funciona localmente e, sob hipóteses ( f'(x^*)\neq 0 e f suficientemente suave), convergência é quadrática (bem mais rápida que linear), mas a análise exige outra teoria. Na prova, basta mencionar que Newton também é um método de ponto fixo com hipóteses próprias.

Passo 9

Resumo prático que você pode escrever rápido na prova (lembrete mental).
  • Transformar f(x)=0 em x=g(x).
  • Mostrar que g([a,b])\subseteq[a,b] e que existe k\in[0,1) com |g(x)-g(y)|\le k|x-y| (ou \max_{[a,b]}|g'|<1).
  • Concluir existência e unicidade do ponto fixo e convergência de x_{n+1}=g(x_n) para qualquer x_0\in[a,b].
  • Citar a estimativa de erro |x_n-x^*|\le k^n|x_0-x^*| para mostrar taxa linear.

Resposta

Método do ponto fixo: reescrever f(x)=0 na forma x=g(x) e aplicar a iteração
x_{n+1}=g(x_n)
com um chute inicial x_0, até que x_n convirja a um x^* tal que g(x^*)=x^* (essa x^* é uma raiz de f sempre que g foi construída adequadamente).
Hipóteses de convergência suficientes (teorema do ponto fixo contrátil): g([a,b])\subseteq[a,b] e existe k\in[0,1) tal que, para todo x,y\in[a,b],
|g(x)-g(y)|\le k|x-y|.
Sob essas hipóteses existe um único ponto fixo x^*\in[a,b] e, para qualquer x_0\in[a,b], a sequência x_{n+1}=g(x_n) converge para x^* com taxa linear
|x_n-x^*|\le k^n|x_0-x^*|.
Critério prático: se g é diferenciável em (a,b) e \max_{x\in(a,b)}|g'(x)|<1, então g é contração e as hipóteses acima valem. Convergência local válida quando apenas |g'(x^*)|<1.

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