Questão 3. (Vale 2.0). Seja
uma equação em que
é uma função contínua. Descreva o método do ponto fixo e apresente as hipóteses de convergência desse método.
Passo 1
O enunciado dá: a equação
com
contínua. Pede-se: descrever o método do ponto fixo e apresentar as hipóteses de convergência desse método.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há uma função
contínua definida no intervalo . - O objetivo é encontrar uma raiz de
, isto é, um tal que .
Nada mais foi fornecido (por ex., forma explícita deou uma transformação já dada). A resolução começa a seguir.
Passo 2
O que é “ponto fixo” e como transformar a equação em problema de ponto fixo.
Definição: um ponto é um ponto fixo de uma função
se e somente se
.
Para usar ponto fixo, reescrevemos a equação de modo equivalente na forma
Definição: um ponto
Para usar ponto fixo, reescrevemos a equação
ou seja, procuramos uma função
tal que as soluções de
sejam exatamente os pontos fixos de
. Um exemplo simples de transformação é
onde
é um número real escolhido convenientemente. Note que, se
satisfaz
então
. Então achar raiz de
passou a ser achar ponto fixo de
.
Passo 3
Descrição do algoritmo iterativo (como se aplica na prova).
Dado um que representa a mesma solução via ponto fixo, o método iterativo é: escolher um chute inicial
e definir recursivamente
Dado um
Repetimos até que os iterados se estabilizem (diferença entre iterações pequena) e então aceitamos o limite
como ponto fixo / raiz. Na prática, fazemos poucas iterações e verificamos convergência.
Passo 4
Teorema de convergência (Banach / do ponto fixo contrátil) — enunciado das hipóteses e consequência (versão para prova).
Hipóteses suficientes para convergência global no intervalo :
Hipóteses suficientes para convergência global no intervalo
-
leva o intervalo em si mesmo, isto é,
-
é um contração em : existe uma constante com tal que, para todo ,
Conclusão: existe um único ponto fixo
e, para qualquer
, a sequência definida por
converge para
.
Explicação curta do porquê (esqueleto de prova): aplicar recursivamente a desigualdade do contração para obter , o que mostra que
é de Cauchy e, por completude de
, converge a algum limite
. Passando ao limite na relação
obtém-se
. Unicidade vem do próprio fato de contração: se
e
fossem fixos,
implica
.
Explicação curta do porquê (esqueleto de prova): aplicar recursivamente a desigualdade do contração para obter
Passo 5
Critério prático usando derivada (como aplicar na prova sem complicação).
Se for diferenciável em
e
Se
satisfez
, então pela média-valor temos, para todo
,
ou seja
é uma contração com
. Então as hipóteses do passo anterior valem (desde que também tenhamos
). Este critério é muito usado em provas: basta estimar
no intervalo e verificar que é menor que
.
Passo 6
Taxa de convergência e estimativas de erro (útil na prova para justificar quantas iterações aproximam bem).
Se é o ponto fixo e
é contração com constante
, então
Se
Iterando,
Isto mostra convergência linear com razão
(erro reduz geometricamente). Outra estimativa prática, útil quando não conhecemos
, é
Ambas são ferramentas que você pode citar na prova para quantificar erro.
Passo 7
Convergência local quando as hipóteses globais não são fáceis de satisfazer.
Se você não consegue garantir nem uma constante global
, basta verificar que
é diferenciável e que
. Pela continuidade de
existe um pequeno vizinhança
de
onde
; portanto, se escolher
nessa vizinhança, a iteração converge para
. Isso é chamado de convergência local — muito comum em problemas reais.
Se você não consegue garantir
Passo 8
Como escolher
na prática e comentário sobre métodos mais rápidos.
- Uma escolha comum é
. Então e você escolhe (por exemplo pequeno, ou se souber um limite para ) para tentar garantir . Pequeno garante contração mas deixa convergência lenta. - O método de Newton é uma escolha especial
. Ele funciona localmente e, sob hipóteses ( e suficientemente suave), convergência é quadrática (bem mais rápida que linear), mas a análise exige outra teoria. Na prova, basta mencionar que Newton também é um método de ponto fixo com hipóteses próprias.
Passo 9
Resumo prático que você pode escrever rápido na prova (lembrete mental).
- Transformar
em . - Mostrar que
e que existe com (ou ). - Concluir existência e unicidade do ponto fixo e convergência de
para qualquer . - Citar a estimativa de erro
para mostrar taxa linear.
Resposta
Método do ponto fixo: reescrever
na forma
e aplicar a iteração
com um chute inicial
, até que
convirja a um
tal que
(essa
é uma raiz de
sempre que
foi construída adequadamente).
Hipóteses de convergência suficientes (teorema do ponto fixo contrátil):
e existe
tal que, para todo
,
Sob essas hipóteses existe um único ponto fixo
e, para qualquer
, a sequência
converge para
com taxa linear
Critério prático: se
é diferenciável em
e
, então
é contração e as hipóteses acima valem. Convergência local válida quando apenas
.